数学

下位ページ †

• オイラー角
• クォータニオン
• 二次形式
• 斜交座標系
• 座標変換
• 行列
• 信号処理
• テンソル
• リー群
• 圏論
• 機械学習

リンク †

• 数学の景色

行列微分 †

• test.pdf
  • 行列微分って何に使うの
  • 誤植多い，特にvecDF(X) = DF(X)d(vecX) はd(vec f(X)) = DF(X)d(vec X)の間違い．(28) f(X)=は嘘．(32)二行くっついてる．detの微分がない．

多様体 †

多様体の基礎、ところたんおすすめ http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso.html

高校数学 †

基本 †

• 対称性
  • 対称ならば、順序を付けても一般性を失わない。
• 取っ掛かりがなければ
  • 実験からの推論

整数論 †

• 範囲を絞る
  • 高々有限にすれば虱潰しにできる
  • 分数の形状にする。Z+Z=Q であることが示せると、QはZ
• mod
  • 分類表を書くのが大事
• 素因数分解

多項式 †

• 平方完成
  • 変数を減らして一個にできるのが本質
  • カルダノの公式の証明で出てくる立方完成も変数を二個に減らせるから偉い
• 因数分解
  • 「有理数の解があるならば、それは±定数項/最高次係数になる」を併用すると超便利。片っ端から k を代入して 0 になったら x - k を因数に持つので。
  • 因数定理: 適当に x に値を突っ込んで、0 になったらそれが因数として存在する。
    • 有理数の解の候補の公式の値はとりあえず突っ込んでみる
    • ∠30°、∠45°、∠60°を入れる (例: x^3 - 2 = 0, 0 度を 3 回の操作で実現するなら ∠60度, ∠120度, 大きさは 2 の三重根)
    • 多項式でも因数定理は使える。(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)を考える。 y=-x とすると、0 になるので、x+y で割り切れます。同様に y+z, z+x でも割り切れますが、3 次式なので (x+y)(y+z)(z+x) の定数倍になります。x=y=z=1 を代入して比較すると 3(x+y)(y+z)(z+x) であることがわかります。
  • わからんかったら x = 10 を代入するのがおすすめ。x^(4)+9x^(3)+16x^(2)-x-3 when x=10 = 20587 = 7 * 17 * 173 = 119 * 173 なので、多分 (x^2 + 2 x - 1) * (x^2 + 7 x + 3)
  • 多変数因数分解
    • 1変数ごと処理。面倒なのでa^2bcとかは211と表記すると早い
    • a,bに対する交代式は(a-b)を因数に持つ（当たりまえ）。対*対=対,対*交=交,交*交=対。よって互いに交代できる三変数交代式(a-b)(b-c)(c-a)をそのまま因数に持つ

• カルダノの公式は導出が綺麗で面白いが、使わないといけない場合は解が無理数・複素数・複素数もしくは無理数・無理数・無理数の場合に限るので、カルダノの公式を使ってくださいという文脈以外で使い道はない
• 多項間漸化式
  • (a_n, a_{n+1}, a_{n+2})などのベクトルを作るのが典型
• 多変数漸化式
  • (x, y, xy, x^2, y^2)などのベクトルを作るのが典型

• 多項式mod
  • 次元削減が本質
  • n次多項式のmodなら、係数はR^nになるので行列のべき乗に落とせる

• 多項式対称式の漸化式
  • x^7+y^7の値を計算せよみたいなやつはx^i+x^iの和を状態としたDP（漸化式）で求めていける。こんな感じ

数列 †

• Σはずらして引いてをすれば大体証明できる
  • Σk^2 は Σk(k-1)+k のようにする

• 特性方程式
  • k項間漸化式のモードを全列挙できる（なので、k項間漸化式以外には使えない）
  • 特性方程式という名前が付いている理由は、行列の対角化（その途中で行列の特性方程式を解く）を利用した解法から自然と出てくるから。
  • 証明: (a_n, a_{n+1}, a_{n+2})などのベクトルでの漸化式に変換すると、特性方程式は det(λI-A) と一致する。A^n = P D^n P の対角化を考えると、λが対角に並んだ D の n 乗に、何らかの定数行列がかけられたものになる。

微分 †

• やるだけ

積分 †

• 置換積分と部分積分をこねくりまわす探索ゲー
• 置換積分 g(t) dt = f(x) dx
  • 変数変換表を作るのが大事。
• 部分積分 片一方に積分を押し付ければ、もう片一方を微分できる
  • 微分する側として多項式を選べば、何回かで常に 0 にできる。
  • 積分する側として sin, cos, exp を選んでも、複雑性は変わらない。log を選べば、複雑性が下がる。
• King Property
  • 要するにただの置換積分 (x -> a + b - x, 逆向きに積分しているだけ)
  • 三角関数と相性がいい（変換後に変な関数にならないがち）
  • 元の関数+King Propertyで変換したもの、とするといい感じに式変形が進むことがある

ベクトル †

• 単位ベクトルとの内積はその方向の距離測定に相当する。

最小・最大・軌跡 †

• 不等式 >= を示して = を満たすものを一例見つければそれが最小（例: 相加相乗）
• 順像法
  • 変数を一個ずつ固定していく
• 逆像法
  • 対応するパラメータの存在を確認する。つまり、∃t in R y = 2 t x - t^2 を解く

極限 †

• ロピタルの定理は受験の文脈では検算くらいにしか使えない
  • 0/0型のロピタルの定理は比較的簡単に証明できるが、∞/∞の証明はεΔ論法を要求する
  • 「lim の結果が 0, ±∞」「あるΔを取ってきて全ての x in (a-Δ, a+Δ) \ {a} で g'(x) != 0」「lim f' / g' が収束する」の三つが必要で、特に二個目が非自明（f(x)=x+sinxcosx,g(x)=e^sinx (x+sinxcosx) が反例）

数え上げ・確率 †

• 同様に確からしく分割できているか不安になるので、組み合わせ/組み合わせとかはしないで、最小単位で分割することをおすすめする
• x+y+z=5の非負整数解を棒と玉による数え上げでできるのはすごい