制御

概要 †

  • 最適レギュレータをなるべく速く実装するためのページ
  • 以下が可能
    • octaveによる極配置、最適レギュレータ
    • 実機とのパラメータ合わせ
    • 実機のモータを擬似力制御する方法
  • ゲイン多様体による制御器の構造の把握
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参考 †

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疑問 †

  • 独立制御可能性を示すためにはどうすればいいか？（直進と回転など）
  • 制御不要の時にフィードバックゲインの一部を0にすることは最適レギュレータに対してどう影響するか。
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基本式 †

  • \dot{x}=Ax(t)+Bu(t)
  • u(t)=-F(x(t)-r(t))（ただしrは平衡点。平衡点であれば、以下の記述はr=0として一般性を失わない）
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状態フィードバック †

  • \dot{x}=Ax(t)+Bu(t)=(A-BF)x(t)に対して、A-BFの固有値実部が全て負で漸近安定である。
    • 固有値は、時定数の逆数を表す。（証明は実際にxを解くによる。よく固有値を-3[/t]とか-4[/t]とかになるように制御する）
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フィードバックゲインの修正 †

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制御しなくても何とかなる変数 †

  • Aのi列が0ベクトルかつBのi行が0ベクトルならば、変数x_iは制御不要である。（最適制御のゲイン多様体を見ることでも分かる）
  • 制御不要な変数を制御しない方法
    • 真面目にやるには、不要な変数を削除して最適レギュレータを再度組む
      • パラメータが増えるデメリットがある。
  • 魔改造的には、制御の必要ないフィードバックゲインを0にすればよい。
    • 例えば、倒立振子ロボットでの速度制御をしたい場合は、フィードバックゲインのうちxのフィードバックを支配する要素を0にする。
    • パラメータを増やす必要がないので、実装も楽。
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フィードバックゲインの決定法 †

  • 直接法、可制御正順系を介した直接法、アッカーマン法、最適レギュレータ、折り返し法がある。
  • アッカーマン法と、最適レギュレータが現実的。これらは関数が用意されている。
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直接法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. フィードバック係数ベクトルfを要素で表現して、A-Bfを計算
  3. 特性方程式|sI-A+bf|を計算 (1)
  4. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、\Pi (s-e_i)を計算 (2)
  5. (1)と(2)の係数比較により、fを算出
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可制御正準型を介した直接法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 可制御正準型に変換行列Tで変換
  3. 可制御正準型なので、Aの最下行に特性方程式が現れる (1)
  4. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、\Pi (s-e_i)を計算 (2)
  5. (2)-(1)により、可制御正準系でのフィードバック係数ベクトル\tilde{f'}を算出
  6. f=\tilde{f}T^{-1}により、fを算出
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アッカーマン法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、P(s)=\Pi (s-e_i)を計算 (1)
  3. 可制御性行列U_cを用いて、f=(0 ... 0 1)U_c^{-1}P(A)
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最適レギュレータ †

  1. 可制御性のチェック
  2. 状態フィードバックのうち、恣意的に与えたQ, Rに対してJ=\frac{1}{2} \int_0^\infty x^t Q x + u^t R u dtを最小化するフィードバックゲインは、A^tP+PA+Q-PBR^{-1}B^tP=0を満たす正定行列Pを用いて、F=R^{-1}B^tPである。
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折り返し法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 固有値を折り返すための直線を\mimetex(Re \lambda = - \alpha);で指定する（Aの固有値にかぶらないように）。
  3. フィードバックゲインは、恣意的に与えたRに対して(A+\alpha I)^tP+P(A+\alpha I)-PBR^{-1}B^tP=0を満たす半正定な最大解P_+（他の解との差が半正定となる解）を用いて、F=R^{-1}B^tP_+である。
  • 備考
    • Q=2 \alpha P_+とした最適レギュレータに一致。
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ゲイン多様体 †

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最適レギュレータのゲイン多様体 †

p "data" u 5:8 #など
  • x-theta.png
    • xが0に張り付く平面を許容するので、xは制御不要である。
    • 一方、xの強い制御をしたければ、thetaゲインもあげなければならなくなる
    • thetaには最低限必要なゲインが存在する。
  • x-xdot.png
    • xは制御不要
    • 一方、thetaと同様に、xの強い制御をしたければ、xdotゲインもあげなければならない
    • xdotの制御には最低限必要なゲインが存在する
  • 図はないが、x-thetadotも同様。
  • xdot-theta.png
    • xdotとthetaは強く相関し、パラメータ選定において拘束されている
    • thetaとxdotの魔改造には注意が必要
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推定誤差の制御偏差への伝播 †

  • 標準偏差の敏感度[cm/deg]=状態推定が角度[deg]ずれしたときに、どれくらい位置[cm]に偏差を残すか
    • =k_theta[N/deg]/k_x[N/cm]
plot "<awk '$7 > 2.2015*$5-220 && $5 < -10 {print}' mani" u 0:(($7/60)/($5/100))

how_much_affect.png

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安定ゲイン多様体との比較 †

  • https://github.com/hamko/sample/blob/master/opt_reg/stability.m
  • 安定領域は，A-bf（fはフィードバックゲイン）の特性多項式の解の実部が全て0未満に相当する．
    • 数学的にはラウス・フルビッツの安定判別法によって計算可能だが面倒なので、フィードバックゲインをランダムで振って根を求めちゃったほうが早い。
    • 当然，安定ゲインは最適レギュレータゲインを内包する．
  • x-theta
    • stability-lqr.png
  • x-xdot
    • stab-x-xdot.png
  • x-thetadot
    • stab-x-thetadot.png
  • x-thetaの制御のトレードオフは，ダイナミクスの構造によるもの
    • ここを魔改造すると，ロバスト性が失われる
  • 速度成分は，最適レギュレータによる収束性の制約によるもの
    • ここを魔改造すると，収束性能が失われる．
  • 総じて，最適レギュレータの解でゲインが強すぎになってきたら，thetaのゲインを安定限界方向に減らすのが良い．
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教科書と実機とのギャップ †

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操作量uがトルク・力の時のモータでの扱い †

  • 基本的には、Duty出力直前まで、マイコン内部でもSI単位系の力[N]で計算して、最終段に力-duty変換をかける。
  • モータの実出力トルクは
    1. 電流に比例する→電流センサをつける
    2. 電圧に比例する無回転トルク-回転数に比例する粘性抵抗→これらを分解し、電圧に比例する無回転トルクを操作量、粘性抵抗を損失としてモデル化する
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理論と実機の単位の違い †

  • 状態・操作量の単位補正行列U_x, U_uを計算し、フィードバックゲインKをロボット用のフィードバックゲインK_{r} = U_u^{-1} K U_xに変換する
    • x=(x, \theta)で表されるとする。x_1のロボットの内部単位である1mmは、SI単位系では0.001である。x_2のロボット内部単位である1radは、SI単位系では1である。このような数値を集めた単位補正行列U_x=diag([0.001\,1])を用いて、x = U_x x_{r}
    • 同様に、トルクのロボットの内部単位である1 dutyは、SI単位系でk[Nm]だとする。単位補正行列U_u=diag([k])を用いて、u = U_u u_{r}
    • フィードバックゲインの式u=-Kxは、U_u u_{r} = -K U_x x_{r}なので、u_{r} = - U_u^{-1} K U_x x_{r}
    • したがって、ロボットのプログラミング時のフィードバックゲインは、K_{r} = U_u^{-1} K U_xと表され、u_{r} = -K_{r} x_{r}である。
    • 状態・操作量はSI単位系や、それに近い（U_x, U_uなどで容易に変換可能）になるように作るべき。U_x, U_uに全ての単位変換を押し付けてはいけない
  • K_robot=U_x*Kだが、マイコンに書き込むプログラムでは別の変数として保持し、マイコンのプリプロセッサによって掛け算させるべき
    • ハードウェアアブストラクションと制御器設計を分離するため（U_xも容易に変わる、センサの換装や推定器の変更などによる）。
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実機のduty-トルク特性が非線形だったら †

  • 上の単位の違いの吸収の式で、U_uが非線形になるだけ。
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x=0以外の目標値 †

  • u(t)=-F(x(t)-r(t))とすればよいだけ。（ただしrは平衡点）
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Tips †
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