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参考 †

  • 金谷一朗さんのベクトル・複素数・クォータニオンの資料を参考
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未整理 †

ベクトルの回転変換がSU(2)の世界では相似変換となる。 1階テンソル=2階スピノール SO(3)=SU(2)/C_2 (C_2は2次巡回群) リー代数so(3)=su(2)

SO(2)=U(1)

exp(A)exp(B)=exp(A+B)は、可換の時だけ。 一般のexp(A)exp(B)は、ベーカーキャンベルハウスドルフの公式で求まる。

SU(2)は、単位行列成分と3つのパウリ行列で表せる。 特殊ユニタリ行列はパウリ行列の線形和で表される。

3次元ベクトルのエルミート表示＝x_i s_i（3次元） オイラー角に相当する回転を実現 線形化すればオイラー角の合成も可能

3次元ベクトルのクオータニオン表示＝[0, x_i s_i](3次元、だが積で4次元になる) 任意の三次元ベクトル中心回転が可能。 クオータニオン積が、単位行列成分が内積・パウリ行列成分が外積となる

exp(対称行列)=対称行列exp(エルミート行列)=エルミート行列
exp(反対称行列)=直交行列exp(反エルミート行列)=ユニタリ行列
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整理 †

反対称行列=SO(2)複素数SO(3)エルミート表示=SU(2)クオータニオン表示
表示$Z=[a, b]_M=a1+bI$$z=[a, b]=a+bi$$\xi = \sigma_i x^i$, $U=\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta^* & \alpha^* \end{bmatrix}$q=a+bi+cj+dh
転置$Z^t=[a, -b]_M$$z^*=[a, -b]$エルミート転置転置
特殊直交特殊直交行列特殊直交行列特殊ユニタリ行列
逆$Z^{-1}=\frac{z^t}{norm(Z)^2}$$z^{-1}=\frac{z^*}{norm(z)^2}$
共役相当転置共役
内積$<A, B>=\frac{1}{2} tr(A^t B)$$<A, B>=\frac{1}{2} tr(A^\dagger B)$
ノルムの二乗$<Z, Z>$$z^* z$$<Z, Z>$
回転$T(\theta)=\exp[0, \theta]_M=[\cos(\theta), \sin(\theta)]_M$$T(\theta)=\exp[0, \theta]=[\cos(\theta), \sin(\theta)]$$T_i(\theta)=exp(J_i \theta)$（ただし$J_i$は生成子）$U_i(\theta)=\exp[0, \sigma_i \theta /2]$（ただし$\sigma_i$はパウリ行列）
一般回転$T(\Delta \theta)=exp(J_i \Delta \theta_i)=\bf{1}+J_i \Delta \theta_i$
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斜交座標系 †
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