制御

用語定義 †

  • 注意点
    • 直感のために基本的にはCraig先生の表記を採用する（修正D-H記法というらしい）
    • Craig先生と中村先生とで，座標系定義が異なるため，動力学計算の式が異なる
    • 具体的には逆動力学，Craig 5.43とロボットモーション3.3.67あたりで異なる
  • 中村先生とCraig先生の比較
Craig先生中村先生
ジョイント回転軸・直動軸の両方の立式回転軸のみに特化した立式
立式ベースリンクを介さずに漸化式を導いているほぼ全ての立式がベースリンクを介す（本には書いていないが運動学動力学統合化計算の要請）
座標系定義ジョイントiのz軸に\( q_{i} \)の回転ジョイントが乗っている．関節iの動きによって{i}が動くジョイントiのz軸に\( q_{i-1} \)の回転ジョイントが乗っている．関節iの動きによって{i}が動く
  • 用語定義
Craig中村意味
{i}{i}座標系i
\( \theta_i \)\( \theta_i \)軸iの一般化座標
\( ^{A}_{B}R \)\( ^{A}_{B}R \){A}から見た，{B}への回転行列
\( ^{A}X_{B} \){A}から見た，{B}の何らか属性であるベクトルX
\( ^{A}P_{B} \)\( ^{A}_{B}P \){A}から見た，{A}から{B}への原点への並進ベクトル
\( ^{A}\hat{Z}_{B} \){A}から見た，{B}のZ軸．A=Bの時，(0, 0, 1)^t
\( ^{A}f_{i}, ^{A}n_{i} \){A}から見た，リンク{i-1}がリンク{i}に与える力とトルク
{C_i}リンクiの重心を原点として{i}と同じ姿勢の座標系
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ロボティクス計算の種類 †

順(Forward)逆(Inverse)
運動学(Kinematics)\( q \to ^{0}_{i}R, ^{0}_{i}P \)
微分運動学(Differential Kinematics)\( \dot{q} \to ^{0}\omega_{i}, ^{0}\dot{P}_{i} \)\( ^{0}\omega_{i}, ^{0}\dot{P}_{i} \to \dot{q} \)
動力学(Dynamics)\( q, \dot{q}, \tau \to \ddot{q} \)\( q, \dot{q}, \ddot{q} \to \tau \)
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基本定理 †

  • 座標変換の基本定理
  • 変数定義
\( Q \)時変する点Q．{B}でgiven
\( ^{A}V_{Q} = ^{A} \dot{Q} \){A}から見た点Qの速度．なぜVQと表現するかというと，逆動力学でvを前向きニュートンオイラーで求めるから
\( ^{A}\dot{V}_{Q} = ^{A} \ddot{Q} \){A}から見た点Qの加速度
\( ^{A}\Omega_{B} \){A}から見た．{B}の角速度
  • 定理
位置\( ^{B}Q = ^{B}_{A}R ^{A}Q \)
姿勢\( ^{A}_{C}R = ^{A}_{B}R ^{B}_{C}R \)
速度\( ^{A}V_{Q} = ^{A}V_{BORG} + ^{A}_{B}R ^{B}V_{Q} + ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q \)(5.13)
角速度\( ^{A}\Omega_{C} = ^{A}\Omega_{B}+ ^{A}_{B}R ^{B}\Omega_{C} \)
加速度\( ^{A}\dot{V}_{Q} = ^{A}\dot{V}_{BORG} + ^{A}_{B}R ^{B}\dot{V}_{Q} + 2 ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}V_{Q} + ^{A}\dot{\Omega}_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q + ^{A}\Omega_{B} \times (^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q) \)(6.10)
角加速度\( ^{A}\dot{\Omega}_{C} = ^{A}\dot{\Omega}_{B} + ^{A}_{B}R ^{B} \dot{\Omega}_{C} + ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}\Omega_{C} \)(6.15)
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逆運動学 †

リンクが枝分かれしている場合はどうするの？

  • 座標系伝播
回転軸直動軸
一般化座標\( q_i = \theta_i \)\( q_i = d_i \)
一般化力\( \tau_i \)\( \tau_i \)
速度\( ^{i+1}v_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}v_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) \) (5.47)\( ^{i+1}_{i}R \, (^{i}v_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + \dot{d_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} \) (5.48)
角速度\( ^{i+1}\omega_{i+1}=^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i} + \dot{\theta} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} \) (5.45)\( ^{i+1}\omega_{i+1}=^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i} \) (5.48)
加速度\( ^{i+1}\dot{v}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}\dot{\omega}_{i} \times ^{i}P_{i+1} + ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + ^{i}\dot{v}_{i}) \)\( ^{i+1}\dot{v}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}\dot{\omega}_{i} \times ^{i}P_{i+1} + ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + ^{i}\dot{v}_{i}) + 2 ^{i+1}\omega_{i+1} \times \dot{d}_{i+1} \, ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} + \ddot{d}_{i+1} \, ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} \)
角加速度\( ^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i} \times \dot{\theta_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} + \ddot{\theta_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} \)(6.32)\( ^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\dot{\omega}_{i} \)(6.33)
重心加速度（直動・回転のみ成立する式）\( ^{i}\dot{v_{Ci}} = ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{C_i}) + ^{i}\dot{v}_{i} \)\( ^{i}\dot{v_{Ci}} = ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{C_i}) + ^{i}\dot{v}_{i} \)
合力\( ^{i}F_{i} = m_{i} ^{i}\dot{v}_{C_{i}} \)\( ^{i}F_{i} = m_{i} ^{i}\dot{v}_{C_{i}} \)
合モーメント\( ^{i}N_{i} = ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\omega_{i} \)\( ^{i}N_{i} = ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\omega_{i} \)
リンクi-1がリンクiに与える力\( ^{i}f_{i} = ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} + ^{i}F_{i} \)\( ^{i}f_{i} = ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} + ^{i}F_{i} \)
リンクi-1がリンクiに与えるモーメント\( ^{i}n_{i} = ^{i}N_{i} + ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}n_{i+1} + ^{i}P_{C_i} \times ^{i}F_{i} + ^{i}P_{i+1} \times ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} \)\( ^{i}n_{i} = ^{i}N_{i} + ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}n_{i+1} + ^{i}P_{C_i} \times ^{i}F_{i} + ^{i}P_{i+1} \times ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} \)
一般化力\( \tau_{i} = ^{i}n_{i}^T \, ^{i}\hat{Z}_{i} \)\( \tau_{i} = ^{i}f_{i}^T \, ^{i}\hat{Z}_{i} \)
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順運動学 †

  • \( \theta, \dot{\theta}, \tau \)が既知の時、\( \ddot{\theta} \)を求める
    • 運動方程式の変数定義：\( \bf{\tau} = A(\bf{\theta}) \bf{\ddot{\theta}} + b(\theta, \dot{\theta}) \)
    • 下記2つによって、運動方程式が求まるので、\( \ddot{\theta} \)は逆行列で求まる。
前処理成り立つ式
\( \ddot{\theta} = 0 \)で逆動力学を解く\( b = \bf{\tau} \)
\( \ddot{\theta} = e_i \)で逆動力学を解く\( A.col(i) = \bf{\tau} - b \)
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閉リンク拘束条件と一般化座標の選択 †

  • 閉ループ構造は，機構の剛性を高める効果がある一方，一般に関節の可動範囲をせばめ，作業空間を減少させる（Craig, p.231）
  • 変数定義
    v仮想リンク
    r仮想リンクが指す実リンク
    \( J_v \){v}の\( q_O \)に対するヤコビアン
    \( q_O=q_J, q_G, q_A, q_C \)開リンクの一般化座標、閉リンクの一般化座標、駆動関節の一般化座標、拘束関節の一般化座標
    \( I_G, I_A, I_C \)閉リンクの一般化座標、駆動関節の一般化座標、拘束関節の一般化座標が、開リンクの一般化座標の何番目の添え字に相当しているか
  1. 切断点の座標系{i}における\( ^{0}_{i}v,^{0}_{i}\omega \)が一致するので、ループx6個の拘束条件が立つ
    • \( J_r \dot{q_O} = blockdiag(^{v}_{r}R, ^{v}_{r}R) J_v \dot{q_O} \)
    • \( J_C \dot{q_O} = (J_r - blockdiag(^{v}_{r}R, ^{v}_{r}R) J_v) \dot{q_O} \)
  2. 行方向に、\( J_C \)から独立な拘束条件のみを抽出
    • \( J_C \)から独立行抽出により、\( J_{Cm} \)を構築する。ここではrank-reveilingな完全軸LU分解を利用する。
    • \( J_C^T = P_C^{-1} L_C U_C Q_C^{-1} \)
    • ここで、\( Q_C \)の1列目から\( rank(J_C) \)列目を抽出する。この行列から、1を含む行の添字を集め、添字リスト\( I_C \)を作る。\( J_{Cm} \)は、\( J_C \)から\( I_C \)行を集めた行列である。
  3. 列方向に、\( J_{Cm} \)から独立な変数＝ループによって拘束されている変数を抽出
    • \( J_Cm \)から独立列抽出により、\( J_S \)を構築する。ここではrank-reveilingな完全軸LU分解を利用する。
    • \( J_{Cm} = P_{Cm}^{-1} L_{Cm} U_{Cm} Q_{Cm}^{-1} \)
    • ここで、\( Q_{Cm} \)の1列目から\( rank(J_{Cm}) \)列目を抽出する。この行列から、1を含む行の添字を集め、添字リスト\( I_S \)を作る。1を含まない行の添え字を集め、添え字リスト\( I_G \)を作る。
    • \( J_S \)は、\( J_{Cm} \)から\( I_S \)列を集めた行列である。\( J_G \)は、\( J_{Cm} \)から\( I_G \)を集めた行列である。
    • \( q_O \)の、\( I_G \)行を抽出したベクトルを\( q_G \)として閉リンク一般化座標とする。また、\( q_O \)の、\( I_S \)である行を抽出したベクトルを\( q_S \)として閉リンク従属座標とする。
  4. 一般化座標と、従属・開・駆動・拘束座標の微分運動学
従属変数の、一般化座標に対するヤコビアン\( H=\delta q_S / \delta q_G \)\( J_S^{-1} J_G \)
開の全変数の、一般化座標に対するヤコビアン\( W = H_O = H_J =\delta q_O / \delta q_G \)Wのi行目は、\( q_O \)が一般化座標のj番目なら\( e_j \)、\( q_O \)が従属座標のj番目なら、H.col(j)
駆動関節の変数の、一般化座標に対するヤコビアン\( S = H_A =\delta q_A / \delta q_G \)Sのi行目は、\( q_A \)が一般化座標のj番目なら\( e_j \)、\( q_A \)が従属座標のj番目なら、H.col(j)
拘束関節の変数の、一般化座標に対するヤコビアン\( H_C=\delta q_C / \delta q_G \)\( H_C \)のi行目は、\( q_C \)が一般化座標のj番目なら\( e_j \)、\( q_C \)が従属座標のj番目なら、H.col(j)。
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力学的整合性：拘束条件をリンクで明示的に表現する場合の運動方程式 †

=拘束を明示的に軸iとして表現し、拘束条件として\( \ddot{\theta_C}=0 \)を入れる方法。

運動方程式\( \begin{pmatrix} A & -H_C^T & -H_J^T \\ H_C & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta_G} \\ \tau_C \\ \tau_J \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ -\dot{H_C} \dot{\theta_G} \end{pmatrix} \)
\( \dot{H_C} \dot{\theta_G} \)兵リンク運動方程式のbから、I_Cを抽出したもの
↑

ロボットダイナミクスのLie群的解釈でO(N)ダイナミクス計算 †

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メモ †

独立行抽出は、独立な拘束条件の抽出 独立列抽出は、独立な変数抽出

  • 微分運動学と静力学の双対性
    • \( \dot{x}=J(\theta) \dot{\theta} \)
    • \( \tau=J(\theta)^T f \)（fはマニピュレータが物体に及ぼす力）
    • これは\( \delta W = \tau^t \delta \theta+ F^t \delta v + N^t \delta \omega \)の仮想仕事が0、\( \begin{pmatrix}\delta v \\ \delta w \end{pmatrix} = J(\theta) \delta \theta \)による。
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英語表現 †

  • \( ^{i+1}_{i}A \) is the matrix transformation between coordinates frame i and i+1.
  • 同次変換行列 a homogeneous transformation matrix
  • 座標系i = coordinate frame i
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