古典制御論 のバックアップ(No.4)

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  • 1 (2015-01-06 (火) 08:06:13)
  • 2 (2015-01-06 (火) 09:32:46)
  • 3 (2015-09-01 (火) 20:46:04)
  • 4 (2015-09-03 (木) 20:59:29)
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  • 6 (2022-06-27 (月) 12:56:09)
  • 7 (2022-06-27 (月) 14:59:43)
  • 8 (2022-07-18 (月) 00:39:05)

制御

概要 †

• 周波数応答に着目した制御理論

参考 †

octaveスクリプト

単語 †

安定性判定 †

内部安定性 †

• 不安定零点の相殺
  • 不安定零点を相殺する⇔内部不安定になる
  • 内部安定⇔外部から加わる信号＝「目標値」「操作量外乱」から、各要素の出力＝「操作量」「制御量」への4 つの伝達関数がすべて安定⇔G分子*H分子+G分母*H分母が根実部が全て負⇔相殺がないかつ閉ループ特性方程式の根実部が0より小さい
  • 確かに、目標値rと状態yの間では安定になる。しかし、ノイズdと状態yの間で不安定になったりして死ぬ。

特性方程式から直接2 †

• 伝達関数の極実部が、すべて0より小さければ漸近安定
  • G, Hのみの単純なフィードバックで、かつ、特性方程式(=1+GH)の計算途中で約分が発生しなければ、特性方程式の根実部がすべて0より小さければ漸近安定も導かれる

ナイキスト線図 †

• 開ループの不安定極数とナイキスト軌跡から、閉ループ不安定極数を求めることで、内部安定性を評価可能な手法。
  • 特性方程式1+PK=[1+PKの極]/[PKの極]
• 閉ループ不安定極数＝開ループPKの不安定極数+ナイキスト軌跡P(iω)K(iω)が-1を時計回りに回る回数
• 虚軸上の極は左に見るように回避

ボード線図 †

• ある周波数の入力がどれくらい増幅されるかを表した図
• ボード線図の見方
  • いきなり位相がずれてる=反応が遅れるんだ。ということはあんまりはやい動きをさせようとすると逆の動きをするかも
  • Kpをかけると何が起きる？：位相が変わらない。値を上げていくとだんだん上がったり下がったりする。
  • Kiをかけると何が起きる？：位相が逆方向に動く
  • Kdをかけると何が起きる？：位相が進む。でも高周波だと途中から0dBより上がっているので、ノイズを増幅してしまう
  • 時間応答だけ見てやると、ピークを見逃して悲しいので、ボード線図は必ず見る。
  • つまり、状態空間から必ず伝達関数にして、ボード線図をみる！！
• ボード線図の読み取り方＝「安定余裕」
  • ゲイン180度でゲインが1以上だと死ぬ->逆に、その時に1以下なら任意の周波数で発振はしない
  • 0とクロス時の時に180度までがでかいとうれしい、180度より下だとやばい

離散化 †

• 連続離散の変換
  • 連続積分に相当する離散積分Discrete-time Integrator(K Ts / (z-1)),
  • 連続微分に相当する離散微分Discrete Derivative(K(z-1)/Ts z)が存在する
  • 実装は2_CtrlDesign?->2_misc->PID_ctrlに単純な積分器と単純な微分器の原理も含んだ詳細なモデルが書かれているので参考になる。（単純なオイラー法）
• 一般には連続->離散双一次変換
  • 連続は左平面
  • 離散の場合は根は単位円に
  • これらの写像を行う
• z変換系でできることまとめ（制御工学演習参考）
  • 8.1 インパルス時間応答からz変換を計算
    • 
  • 8.2 プロパーなラプラス変換からz変換を計算
    • の極σでの留数
  • 8.4, 8.11 逆z変換
    • の極σでの留数
  • 8.12 sとzが混在するシステム図と応答計算方法
  • 8.18 所望のデジタルフィルタの設計と演算図 （プログラミングできる！）
    • プロパーなz伝達関数は線形差分方程式を表すので、演算図が計算可能。

疑問 †

• 根軌跡法
• 実際の設計方法
  • そもそも1変数だから普通の問題に対しては使えそうにない。周波数応答を見たいときにしか使えない？
• プログラミングとのつながり
  • z変換とプログラミング可能性について
• 入力から出力だけではなく、ノイズから出力などの伝達関数も計算可能。これは必ず習得したい。