制御

基本式 †

  • \dot{x}=Ax(t)+Bu(t)
  • u(t)=-F(x(t)-r(t))（ただしrは平衡点。平衡点であれば、以下の記述はr=0として一般性を失わない）
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状態フィードバック †

  • \dot{x}=Ax(t)+Bu(t)=(A-BF)x(t)に対して、A-BFの固有値実部が全て負で漸近安定である。
    • 固有値は、時定数の逆数を表す。（証明は実際にxを解くによる。よく固有値を-3[/t]とか-4[/t]とかになるように制御する）

A-Bfの固有値の実部がすべて負であれば、漸近安定。 収束の時定数は、固有値の実部の逆数である。

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フィードバックゲインの決定法 †

  • 直接法、可制御正順系を介した直接法、アッカーマン法、最適レギュレータ、折り返し法がある。
  • アッカーマン法と、最適レギュレータが現実的。
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直接法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. フィードバック係数ベクトルfを要素で表現して、A-Bfを計算
  3. 特性方程式|sI-A+bf|を計算 (1)
  4. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、\Pi (s-e_i)を計算 (2)
  5. (1)と(2)の係数比較により、fを算出
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可制御正準型を介した直接法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 可制御正準型に変換行列Tで変換
  3. 可制御正準型なので、Aの最下行に特性方程式が現れる (1)
  4. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、\Pi (s-e_i)を計算 (2)
  5. (2)-(1)により、可制御正準系でのフィードバック係数ベクトル\tilde{f'}を算出
  6. f=\tilde{f}T^{-1}により、fを算出
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アッカーマン法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 目的とする固有値e_iを恣意的に選び、P(s)=\Pi (s-e_i)を計算 (1)
  3. 可制御性行列U_cを用いて、f=(0 ... 0 1)U_c^{-1}P(A)
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最適レギュレータ †

  1. 可制御性のチェック
  2. 状態フィードバックのうち、恣意的に与えたQ, Rに対してJ=\frac{1}{2} \int_0^\infty x^t Q x + u^t R u dtを最小化するフィードバックゲインは、A^tP+PA+Q-PBR^{-1}B^tP=0を満たす正定行列Pを用いて、F=R^{-1}B^tPである。
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折り返し法 †

  1. 可制御性のチェック
  2. 固有値を折り返すための直線を\mimetex(Re \lambda = - \alpha);で指定する（Aの固有値にかぶらないように）。
  3. フィードバックゲインは、恣意的に与えたRに対して(A+\alpha I)^tP+P(A+\alpha I)-PBR^{-1}B^tP=0を満たす半正定な最大解P_+（他の解との差が半正定となる解）を用いて、F=R^{-1}B^tP_+である。
  • 備考
    • Q=2 \alpha P_+とした最適レギュレータに一致。
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教科書と実機とのギャップ †

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操作量uがトルク・力の時のモータでの扱い †

  • モータの実出力トルクは
    1. 電流に比例する→電流センサをつける
    2. 電圧に比例する無回転トルク-回転数に比例する粘性抵抗→これらを分解し、電圧に比例する無回転トルクを操作量、粘性抵抗を損失としてモデル化する
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理論と実機の単位の違いを吸収する †

  • 状態・操作量の単位補正行列U_x, U_uを計算し、フィードバックゲインKをロボット用のフィードバックゲインK_{r} = U_u^{-1} K U_xに変換する
    • x=(x, \theta)で表されるとする。x_1のロボットの内部単位である1mmは、SI単位系では0.001である。x_2のロボット内部単位である1radは、SI単位系では1である。このような数値を集めた単位補正行列U_x=diag([0.001\,1])を用いて、x = U_x x_{r}
    • 同様に、トルクのロボットの内部単位である1 dutyは、SI単位系でk[Nm]だとする。単位補正行列U_u=diag([k])を用いて、u = U_u u_{r}
    • フィードバックゲインの式u=-Kxは、U_u u_{r} = -K U_x x_{r}なので、u_{r} = - U_u^{-1} K U_x x_{r}
    • したがって、ロボットのプログラミング時のフィードバックゲインは、K_{r} = U_u^{-1} K U_xと表され、u_{r} = -K_{r} x_{r}である。
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x=0以外の目標値 †

  • u(t)=-F(x(t)-r(t))とすればよいだけ。（ただしrは平衡点）
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Tips †
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