二次形式 の変更点

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[[数学]]

*概要 [#afa0665f]
-二次関数の表現とその座標変換
-楕円体（慣性テンソルを含む）を座標変換で飛ばす方法

*参考 [#zc50a654]
-http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear11.html

*二次形式基礎 [#da3181de]
-二次形式は実対称行列Aに対して、&mimetex($f(x)=x^t A x$);
-実対称行列は常に直交行列Pで&mimetex($A=P^{-1} A' P$);と対角化可能
-&mimetex($x=Px'$);に対して、&mimetex($f(x)=x^t A x = x'^t A' x'$);
-&mimetex($^1x^t A ^1x = 1$);の座標系0での表現は、&mimetex($^1x=^1_0R ^0x$);なので、&mimetex($(^1_0R x)^t A  (^1_0R x) = ^0x^t ^0_1R A ^0_1R^t ^0x = 1$);
--つまり、世界座標系から物体座標系の回転行列が&mimetex($^O_A R$);だとすると、物体座標系での対角慣性テンソルIは、世界座標系からみると&mimetex($^O_AR I ^O_AR^t$);と相似変換される、ということ。
--つまり、世界座標系から物体座標系の回転行列が&mimetex($^O_A R$);だとすると、物体座標系での対角慣性テンソル&mimetex($^A I$);に対して、世界座標系での慣性テンソル&mimetex($^O I$);は&mimetex($^O I= ^O_AR ^A I ^O_AR^t$);と相似変換される、ということ。