機構学 の変更点

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[[制御]]


*用語定義 [#n0a90b49]
-注意点
--''直感のために基本的にはCraig先生の表記を採用する''（修正D-H記法というらしい）
--Craig先生と中村先生とで，座標系定義が異なるため，動力学計算の式が異なる
--具体的には逆動力学，Craig 5.43とロボットモーション3.3.67あたりで異なる

-中村先生とCraig先生の比較

||Craig先生|中村先生|h
|ジョイント|回転軸・直動軸の両方の立式|回転軸のみに特化した立式|
|立式|ベースリンクを介さずに漸化式を導いている|ほぼ全ての立式がベースリンクを介す（本には書いていないが運動学動力学統合化計算の要請）|
|座標系定義|ジョイントiのz軸に$q_{i}$の回転ジョイントが乗っている．関節iの動きによって{i}が動く|ジョイントiのz軸に$q_{i-1}$の回転ジョイントが乗っている．関節iの動きによって{i}が動く|


-用語定義

|Craig|中村|意味|h
|{i}|{i}|座標系i|
|$\theta_i$|$\theta_i$|軸iの一般化座標|
|$^{A}_{B}R$|$^{A}_{B}R$|{A}から見た，{B}への回転行列|
|$^{A}X_{B}$||{A}から見た，{B}の何らか属性であるベクトルX|
|$^{A}P_{B}$|$^{A}_{B}P$|{A}から見た，{A}から{B}への原点への並進ベクトル|
|$^{A}\hat{Z}_{B}$||{A}から見た，{B}のZ軸．A=Bの時，(0, 0, 1)^t|
|$^{A}f_{i}, ^{A}n_{i}$||{A}から見た，リンク{i-1}がリンク{i}に与える力とトルク|
|{C_i}||リンクiの重心を原点として{i}と同じ姿勢の座標系|


*ロボティクス計算の種類 [#b70e6c96]

||順(Forward)|逆(Inverse)|h
|運動学(Kinematics)|$q \to ^{0}_{i}R,  ^{0}_{i}P $||
|微分運動学(Differential Kinematics)|$\dot{q} \to ^{0}\omega_{i}, ^{0}\dot{P}_{i} $|$^{0}\omega_{i}, ^{0}\dot{P}_{i} \to \dot{q} $|
|動力学(Dynamics)|$q, \dot{q}, \tau \to \ddot{q}$|$q, \dot{q}, \ddot{q} \to \tau$|


*基本定理 [#ae758a5d]
-座標変換の基本定理

-変数定義

|$Q$|時変する点Q．{B}でgiven|
|$^{A}V_{Q} = ^{A} \dot{Q}$|{A}から見た点Qの速度．なぜVQと表現するかというと，逆動力学でvを前向きニュートンオイラーで求めるから|
|$^{A}\dot{V}_{Q} = ^{A} \ddot{Q}$|{A}から見た点Qの加速度|
|$^{A}\Omega_{B}$|{A}から見た．{B}の角速度|

-定理

|位置|$^{B}Q = ^{B}_{A}R ^{A}Q$|
|姿勢|$^{A}_{C}R = ^{A}_{B}R  ^{B}_{C}R$|
|速度|$^{A}V_{Q} = ^{A}V_{BORG} + ^{A}_{B}R ^{B}V_{Q} + ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q$(5.13)|
|角速度|$^{A}\Omega_{C} = ^{A}\Omega_{B}+ ^{A}_{B}R ^{B}\Omega_{C}$|
|加速度|$^{A}\dot{V}_{Q} = ^{A}\dot{V}_{BORG} + ^{A}_{B}R ^{B}\dot{V}_{Q} + 2 ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}V_{Q} + ^{A}\dot{\Omega}_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q + ^{A}\Omega_{B} \times (^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}Q)$(6.10)|
|角加速度|$^{A}\dot{\Omega}_{C} = ^{A}\dot{\Omega}_{B} + ^{A}_{B}R ^{B} \dot{\Omega}_{C} + ^{A}\Omega_{B} \times ^{A}_{B}R ^{B}\Omega_{C}$(6.15)|

*逆運動学 [#qdbe901c]
リンクが枝分かれしている場合はどうするの？

-座標系伝播

||回転軸|直動軸|h
|一般化座標|$q_i = \theta_i$|$q_i = d_i$|
|一般化力|$\tau_i$|$\tau_i$|
|速度|$^{i+1}v_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}v_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1})$ (5.47)|$^{i+1}_{i}R \, (^{i}v_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + \dot{d_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$ (5.48)|
|角速度|$^{i+1}\omega_{i+1}=^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i} + \dot{\theta} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$ (5.45)|$^{i+1}\omega_{i+1}=^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i}$ (5.48)|
|加速度|$^{i+1}\dot{v}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}\dot{\omega}_{i} \times ^{i}P_{i+1} + ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + ^{i}\dot{v}_{i})$|$^{i+1}\dot{v}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, (^{i}\dot{\omega}_{i} \times ^{i}P_{i+1} + ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{i+1}) + ^{i}\dot{v}_{i}) + 2 ^{i+1}\omega_{i+1} \times \dot{d}_{i+1} \, ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} + \ddot{d}_{i+1} \, ^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$|
|角加速度|$^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\omega_{i} \times \dot{\theta_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1} + \ddot{\theta_{i+1}} ^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$(6.32)|$^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \, ^{i}\dot{\omega}_{i}$(6.33)|
|重心加速度（直動・回転のみ成立する式）|$^{i}\dot{v_{Ci}} = ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{C_i}) + ^{i}\dot{v}_{i}$|$^{i}\dot{v_{Ci}} = ^{i}\omega_{i} \times (^{i}\omega_{i} \times ^{i}P_{C_i}) + ^{i}\dot{v}_{i}$|
|合力|$^{i}F_{i} = m_{i} ^{i}\dot{v}_{C_{i}}$|$^{i}F_{i} = m_{i} ^{i}\dot{v}_{C_{i}}$|
|合モーメント|$^{i}N_{i} = ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\omega_{i}$|$^{i}N_{i} = ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\dot{\omega}_{i} + ^{i}\omega_{i} \times ^{C_{i}}I_{i} ^{i}\omega_{i}$|
|リンクi-1がリンクiに与える力|$^{i}f_{i} = ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} + ^{i}F_{i}$|$^{i}f_{i} = ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1} + ^{i}F_{i}$|
|リンクi-1がリンクiに与えるモーメント|$^{i}n_{i} = ^{i}N_{i} + ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}n_{i+1} + ^{i}P_{C_i} \times ^{i}F_{i} + ^{i}P_{i+1} \times ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1}$|$^{i}n_{i} = ^{i}N_{i} + ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}n_{i+1} + ^{i}P_{C_i} \times ^{i}F_{i} + ^{i}P_{i+1} \times ^{i}_{i+1}R \, ^{i+1}f_{i+1}$|
|一般化力|$\tau_{i} = ^{i}n_{i}^T \, ^{i}\hat{Z}_{i}$|$\tau_{i} = ^{i}f_{i}^T \, ^{i}\hat{Z}_{i}$|

*順運動学 [#v1ae32c7]
-$\theta, \dot{\theta}, \tau$が既知の時、$\ddot{\theta}$を求める
--運動方程式の変数定義：$\bf{\tau} = A(\bf{\theta}) \bf{\ddot{\theta}} + b(\theta, \dot{\theta})$
--下記2つによって、運動方程式が求まるので、$\ddot{\theta}$は逆行列で求まる。

|前処理|成り立つ式|
|$\ddot{\theta} = 0$で逆動力学を解く|$b = \bf{\tau}$|
|$\ddot{\theta} = e_i$で逆動力学を解く|$A.col(i) = \bf{\tau} - b$|

*閉リンク拘束条件と一般化座標の選択 [#y9646239]
-閉ループ構造は，機構の剛性を高める効果がある一方，一般に関節の可動範囲をせばめ，作業空間を減少させる（Craig, p.231）
-変数定義
|v|仮想リンク|
|r|仮想リンクが指す実リンク|
|$J_v$|{v}の$q_O$に対するヤコビアン|
|$q_O=q_J, q_G, q_A, q_C$|開リンクの一般化座標、閉リンクの一般化座標、駆動関節の一般化座標、拘束関節の一般化座標|
|$I_G, I_A, I_C$|閉リンクの一般化座標、駆動関節の一般化座標、拘束関節の一般化座標が、開リンクの一般化座標の何番目の添え字に相当しているか|

+切断点の座標系{i}における$^{0}_{i}v,^{0}_{i}\omega$が一致するので、ループx6個の拘束条件が立つ
--$J_r \dot{q_O} = blockdiag(^{v}_{r}R, ^{v}_{r}R) J_v \dot{q_O}$
--$J_C \dot{q_O} = (J_r - blockdiag(^{v}_{r}R, ^{v}_{r}R) J_v) \dot{q_O}$
+行方向に、$J_C$から独立な拘束条件のみを抽出
--$J_C$から独立行抽出により、$J_{Cm}$を構築する。ここではrank-reveilingな完全軸LU分解を利用する。
--$J_C^T = P_C^{-1} L_C U_C Q_C^{-1}$
--ここで、$Q_C$の1列目から$rank(J_C)$列目を抽出する。この行列から、1を含む行の添字を集め、添字リスト$I_C$を作る。$J_{Cm}$は、$J_C$から$I_C$行を集めた行列である。
+列方向に、$J_{Cm}$から独立な変数＝ループによって拘束されている変数を抽出
--$J_Cm$から独立列抽出により、$J_S$を構築する。ここではrank-reveilingな完全軸LU分解を利用する。
--$J_{Cm} = P_{Cm}^{-1} L_{Cm} U_{Cm} Q_{Cm}^{-1}$
--ここで、$Q_{Cm}$の1列目から$rank(J_{Cm})$列目を抽出する。この行列から、1を含む行の添字を集め、添字リスト$I_S$を作る。1を含まない行の添え字を集め、添え字リスト$I_G$を作る。
--$J_S$は、$J_{Cm}$から$I_S$列を集めた行列である。$J_G$は、$J_{Cm}$から$I_G$を集めた行列である。
--$q_O$の、$I_G$行を抽出したベクトルを$q_G$として閉リンク一般化座標とする。また、$q_O$の、$I_S$である行を抽出したベクトルを$q_S$として閉リンク従属座標とする。
+一般化座標と、従属・開・駆動・拘束座標の微分運動学

|従属変数の、一般化座標に対するヤコビアン|$H=\delta q_S / \delta q_G$|$J_S^{-1} J_G$|
|開の全変数の、一般化座標に対するヤコビアン|$W = H_O = H_J =\delta q_O / \delta q_G$|Wのi行目は、$q_O$が一般化座標のj番目なら$e_j$、$q_O$が従属座標のj番目なら、H.col(j)|
|駆動関節の変数の、一般化座標に対するヤコビアン|$S = H_A =\delta q_A / \delta q_G$|Sのi行目は、$q_A$が一般化座標のj番目なら$e_j$、$q_A$が従属座標のj番目なら、H.col(j)|
|拘束関節の変数の、一般化座標に対するヤコビアン|$H_C=\delta q_C / \delta q_G$|$H_C$のi行目は、$q_C$が一般化座標のj番目なら$e_j$、$q_C$が従属座標のj番目なら、H.col(j)。|















*力学的整合性：拘束条件をリンクで明示的に表現する場合の運動方程式 [#f573b6ba]
=拘束を明示的に軸iとして表現し、拘束条件として$\ddot{\theta_C}=0$を入れる方法。

|運動方程式|$\begin{pmatrix} A & -H_C^T & -H_J^T \\ H_C & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta_G} \\ \tau_C \\ \tau_J \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ -\dot{H_C} \dot{\theta_G} \end{pmatrix}$|
|$\dot{H_C} \dot{\theta_G}$|兵リンク運動方程式のbから、I_Cを抽出したもの|








*ロボットダイナミクスのLie群的解釈でO(N)ダイナミクス計算 [#ve0e2f72]
-http://ijr.sagepub.com/content/14/6/609.short













*メモ [#wae417e3]
独立行抽出は、独立な拘束条件の抽出
独立列抽出は、独立な変数抽出
-微分運動学と静力学の双対性
--$\dot{x}=J(\theta) \dot{\theta}$
--$\tau=J(\theta)^T f$（fはマニピュレータが物体に及ぼす力）
--これは$\delta W = \tau^t \delta \theta+ F^t \delta v + N^t \delta \omega$の仮想仕事が0、$\begin{pmatrix}\delta v \\ \delta w  \end{pmatrix} = J(\theta) \delta \theta$による。













*英語表現 [#y53bdae2]
-$^{i+1}_{i}A$ is the matrix transformation between coordinates frame i and i+1.
-同次変換行列 a homogeneous transformation matrix
-座標系i = coordinate frame i

















*最初からきちんと勉強する試み [#y8c198e6]
**表記 [#k65d4dac]
-Uはベースフレーム
**位置 [#oac64ba0]
-回転行列には対応する歪対称行列分解が一意に存在する(2.56)
--正規直交行列に関するケーリーの定理
-オイラー角(2.90, 2.91, 2.92)
--オイラーは四次元上の点
--相互変換の方法が一意に定まる。
**速度(5章) [#z920ab70]
-速度は、どの座標系で微分するのかが非常に重要
-$^B V_Q$を、座標系Bから見たQの速度と定義する (5.1)
--本当は$^B V_Q$は$^B\dot{Q}$と書くべきなのだろうと思う…
-$^A (^B V_Q)$を、座標系Aから見た「座標系Bから見たQの速度」と定義する (5.2)
--$^A (^B V_Q)=^A_B R\ ^B V_Q$ (5.4)
-糖衣構文: $v_C = ^U v_C = ^U V_{CORG}$を、ベース座標系から見た座標系Cの原点の速度、と定義する (5.5)

-$^C (^A V_B)$を、座標系Cから見た「座標系Aから見た座標系Bの角速度ベクトル」と定義する (5.6の上)
-糖衣構文: $\omega_C = ^U \Omega_C$を、「座標系Uから見た、座標系Cの角速度ベクトル」と定義する(5.6)
-速度の連鎖律
--求：座標系Aから点Pの速度を知りたい
---与：座標系Bから点Pの速度 $^B V_P$
---与：座標系Aに対する、座標系Bの速度 $^A V_{BORG}$
---与：座標系Aに対する、座標系Bの角速度 $^A \Omega_{B}$
--速度は線形なので、与えられたものの3つのパターンを独立に足せば良い
+++与：座標系Bから点Pの速度 $^B V_P$→見てる座標系が違うので、座標系Aから見ると$^A_B R ^B V_P$
+++与：座標系Aに対する、座標系Bの速度 $^A V_{BORG}$→座標系が同じなので、そのまま$^A V_{BORG}$足す。
+++与：座標系Aに対する、座標系Bの角速度$^A \Omega_{B}$→$^A \Omega_{B} \times (A^P_{BORG} + ^A_B R ^B Q)$じゃないの？？（！！！！！！！！！！！）どうやら前半がないらしい。なんで？？？(5.13)
+++与：座標系Aに対する、座標系Bの角速度$^A \Omega_{B}$→$^A \Omega_{B} \times (A^P_{BORG} + ^A_B R ^B Q)$じゃないの？？（！！！！！！！！！！！）どうやら前半がないらしい。なんで？？？→何で座標系ごと回転してると思っているんですかね…(5.13)