群論

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概要 †

• 群論ちゃんと勉強しましょう

目次 †

用語 †

• 位数
  • 有限群の元の個数

疑問 †

• \( g^{-1} g' \in G \Leftrightarrow g' \in g_i G \)
  • p95。なんで。

置換 †

• \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \end{pmatrix} \)
  • 右上から、左に向かって参照していく

• 置換は非可換

• n次対称群＝置換群＝\( \{a_1, ..., a_n\} \) の置換全体が作る群=\( S_n \)
  • n次対称群の位数はn!

• 正6面体群=\( P(6) \cong S_4 \)
  • 4本対角線を元として見ると、その回転により群をなす
  • 群\( G \)と群\( G' \)が同型 \( \Leftrightarrow \exists \phi \in Map(G, G')\ \phi(a b) = \phi(a) \phi(b) \)

• 互換
  • 2要素を交換する置換
  • \( \forall \sigma \in S_n\ \) \( \sigma \)は互換の積で表される \( \Leftrightarrow \) \( S_n \)は互換によって生成される

• 偶置換・奇置換、偶置換がなす群\( A_n \)
  • 置換を互換に分解した時、必要な互換数の偶奇で、偶置換と奇置換が分類される
  • 偶置換のみを取り出すと、群\( A_n \)になる（奇置換ではならない。なぜなら奇置換x奇置換=偶置換だから）
  • 偶置換x奇置換=奇置換、といったように、mod 2っぽくなる

同値 †

• 群Gと、Gの部分群Hが与えられているとする。
  • Hは、いい加減に取るのではなく、これ自体で群であることに注意。
• \( a \sim b \Leftrightarrow \exists h \in H\ b = a h \)
  • 例: \( G \)は整数群、\( H_0 \)は3で割って0になるような整数群。すると\( 6 \sim 3 \)。同様に\( H_1, H_2 \)も定義可能
• 同値類\( aH \)（注意：これは集合である）
  • \( aH = {ah | h \in H} \)
  • 同値類には左右がある。元aが左に付いているものは、左同値類、右についているものは右同値類。
  • \( \forall s, t \in aH\ s \sim t \)
• 同値類による類別
  • Gは、Hの元に\( a_1=1 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_2 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_3 \)を作用させたもの…で類別できる。
  • \( G = \displaystyle \bigcup_a aH \)
  • 何故か、\( G = H + a_2 H + ... \)と表記するらしい
  • 重要: \( |H| = |a_i H| \)。理由は、\( H \)の元と\( a_i H \)の元は、一対一対応するから。
  • 従って、ラグランジュの定理として、|H|は|G|の約数であることがわかる。

巡回群\( R_n \) †

• \( R_n \): 1->2->...->n->1->2->... みたいな群。これを巡回群という。
• 巡回群は可換群。
• 巡回部分群
  • 有限群なら有限なので、単位元\( e \)以外のものをかけ続ければいつかはループするというアイディアを数式化したもの。
  • 一般の群\( G \)に対して、\( H={a, a^2, a^3, ...} \)が巡回群Hであるとする
    • 「一般の」というのは重要。いつかはループする。
    • Hは「aから生成されたGの巡回部分群」といい、Hの位数を「aの位数」という
    • 位数という単語が、今confusingになりました！！つらい
  • 定理: \( a \in G \)の位数は、\( |G| \)の約数。
    • 例: \( S_3 \)を考える。\( S_3 \)の元の位数は、サイクルになりえる元の数なので、全パターンとりえて、1か2か3。ところで\( |S_3| = 1*2*3 \)なのでそうですね。
  • 定理: \( a^{|G|} = e \)（上の定理から即導かれる）
    • これすごい。群の位数の特徴付けとも言えるレベル。
    • 任意の群Gで、任意の群Gの元を取ってきても、位数乗すると単位元に戻る！
  • 定理: 群\( G \)の位数が素数\( p \)であるとすると、\( G \)は巡回群かつ単位元以外の元は全て位相\( p \)
    • 位数\( 4 \)における反例: 位数\( 4 \)の群\( G \)には、単位元以外の全ての元の位数が\( 2 \)になる、「クラインの4元群」がある

整数と群 †

• 整数\( n \)に関する余剰類\( [i] \)
  • 定義: \( [i] = {..., i-n, i, i+n, ...} \)
• 定理: aとbが互いに素\( \Leftrightarrow \) \( \exists x, y \in \mathbb{Z}\ a x + b y = 1 \)
• 「\( n \)と素な余剰類\( [a] \)」=「\( n \)の既約余剰類」
  • 要するに\( a \)と\( n \)が互いに素
  • \( n \)が素数なら楽だが、そうでないと余剰類の数は限定される（\( n=6 \)だと、\( [1], [5] \)しか既約余剰類でない）
• 定理: \( n \)の既約余剰類全体\( \mathbb{Z_n^*} \)は、乗法によって可換群
• \( \mathbb{Z_n^*} \)の元の数
  • 定理: \( |\mathbb{Z_p^*}|=p-1 \), where \( n=p \), \( p \)は素数
  • 定理: \( \displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p^k(1-\frac{1}{p}) \), where \( n=p^k \), \( p \)は素数
  • 定理: \( \displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p_1^{k_1}...p_s^{k_s}(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_s}) = \phi(n) \)（オイラーの関数）

• 定理: \( a \in \mathbb{Z_n^*}\ a^{\phi(n)} \equiv 1 \)
  • 群Gの任意の元aは、位数乗で単位元に戻ってくるのでそれはそう。
  • フェルマーの小定理: \( n=p \), \( p \)は素数の時、\( \phi(n)=n-1 \)であることからフェルマーの小定理が確認できる

群の働き †

• 定義: 群\( G \)が集合\( M \)の上に働く \( \Leftrightarrow \) \( \forall g \in G\ g \in Map(M, M) \) \( \land \) \( \forall x \in M\ g_1(g_2(x)) = (g_1 g_2)(x) \) \( \land \) \( \forall x \in M\ g \in G g(x) = x \)
  • 要するに、Gの元は全部、M->Mへの関数です。関数が群っぽくあって欲しいです。ということは、関数合成が結合的で、Gの単位元は恒等写像であって欲しいです。ということ
  • 実は\( g \in G \)は、1対1写像！（重要）
• 逆に、群\( G \)を集合\( M \)の上に働かせるのに、定めるべきことは？
  • 「全ての\( g \in G \)について、\( \phi_g(h), where h \in M \)を定義」すれば、群\( G \)が集合\( M \)の上に働くと言えるね
• 自分の上に働く
  • 群GはGの上に右、左、両側から働く
  • \( \phi_g(h) = gh, \psi_g(h) = h g^{-1}, \lambda_g(h)=g h g^{-1} \)
• 自分の上に働く、ということは、置換そのものである（有限群限定）
  • 位数nの有限群の元\( {h_i} \in G \)に、\( g \in G \)を左から働かせると、\( {g h_i} \)となり、これは全て相異なのでこれは群\( G \)に一致
  • どんな\( g \in G \)を働かせるかによって、どんな置換になるかが変わる。
  • これを数式で表すと、Gが自分の上に働いている時、\( \Phi \in Map(G, S_n) \)が定義できる、ということになる。…★
  • 更に、\( \Phi \)は結合的である。
    • \( g \)を左から働かせたあとに、\( g' \)を左から働かせると、\( \Phi(g' g) = \Phi(g') \Phi(g) \)であることが分かる。

• 両側からの働きは、可換性に関わりが強い。
  • \( \lambda_g(h) = ghg^{-1} \)について、\( \lambda_g(a) = a \)となる元aの集合は可換な部分群となる。

• 準同型写像
  • 「抽象的な群を、具体的な群の一部に映し出す」写像
  • 準同型写像は、一般には一対一ではない
  • 写像\( \Phi \in Map(G, G') \)が\( \Phi(\tilde{g} g) = \Phi(\tilde{g}) \Phi(g) \in G' (g, \tilde{g} \in G) \)を満たすとき、\( \Phi \)は準同型写像
  • \( \Phi(e) = e', \Phi(g^{-1}) = \Phi(g)^{-1} \)
  • 上の、★の例であれば、「位数nの有限群Gから、n次対称群\( S_n \)への準同型写像\( \Phi \)が存在する。\( \Phi \)は、Gの左からの働きによって引き起こされる」と言える。

• 表現
  • Gは抽象的な概念であったが、\( S_n \)という具体的な群に橋渡しされた。
  • このことを表すために「Gから\( S_n \)への表現\( \Phi \)が与えられた」という。
  • \( \Phi \)が一対一写像であるときは、「忠実な表現」であるという。

軌道 †

• G-軌道
  • 群Gが集合M上に働いている。
  • \( x \in M \)のG-軌道を、\( G(x) = {g(x) | g \in G} \)と定義する
  • 意味: gは、xに対して行いうる全ての変換。つまり、\( G \)が表す変換によって、移ることのできる元の集合ということ。
  • 当然、\( y \notin G(x) \Leftarrow G(x) \cap G(y) = \phi \)
  • \( \displaystyle M=\bigcup_\alpha G(x_\alpha) \)と、互いに共通点のないG-軌道で分解できる

• 固定部分群\( G_{x_0} \)
  • Gを作用させても、変化しないMの元がある（少なくともGの単位元はそう）
  • そのような場合、\( g \in G \)は\( x_0 \in M \)を止める、と言う
  • \( x_0 \)を止める\( g \in G \)全体は、Gの部分群をなす。これを\( x_0 \)の固定部分群と呼ぶ。

• 固定部分群、余剰類、G-軌道の関係
  • \( x_0 \)のG-軌道と、Gの\( G_{x_0} \)による左余剰類による集合とが1対1対応する
  • 固定部分群\( G_{x_0}={x_0, ..., x_{s-1}} \)について、\( x_i = g_i(x_0) = g_i'(x_0) \)なる2つのGの元を選ぶ
  • \( g_i^{-1} g_i' = x_0 \in G_{x_0} \)なので、\( g_i' \in g_i G_{x_0} \)。\( g_i \)と\( g_i' \)は\( G_{x_0} \)の同じ左余剰類に属している！
  • 余剰類が得られたので、Gを分解することが出来る。\( G=G_{x_0} + g_1 G_{x_0} + ... + g_{s-1} G_{x_0} \)
  • ここで、\( g \in G_i \Leftrightarrow g(x_0) = x_i \)となり、\( x_0 \)のG-軌道と、Gの\( G_{x_0} \)による左余剰類による集合とが1対1対応する（？？？）
  • これは有限群ではなく、一般の群で成り立つ
  • 特に有限群の場合は、余剰群の定理から\( |G|=|G_{x_0}| |G(x_0)| \)
    • コーシーの定理: 有限群\( G \), \( p \)は素数、\( p \)は\( |G| \)の約数。この時、\( g \in G \)で位数がpのものが存在する。
    • この証明は、軌道をうまく使っていて面白い

中心 †

• \( G \)の中心\( Z \): \( G \)の全ての元と可換になるような元全体で構成されるGの部分群
  • \( Z = {g | \forall h \in G\ gh = hg} \)
• \( |G|=p^m (p: prime) \)ならば、\( Z \)は\( e \)以外を含む
• \( x \in Z \Leftrightarrow \) 群G自身の両側からの働き\( \lambda_g \)による\( x \)のG-軌道が\( x \)のみ
  • 群G自身の両側からの働き\( \lambda_g \)による\( x \)のG-軌道が\( x \)のみ \( \Leftrightarrow \forall g \in G\ \lambda_g(x) = x \Leftrightarrow \forall g \in G\ gxg^{-1} = x \Leftrightarrow \forall g \in G\ gx= xg \Leftrightarrow x \in Z \)

• 群\( G \)の位数が、素数\( p \)で割り切れるとし、\( p \)の最大冪を\( p^m \)とする。この時、Gには位数\( p^m \)の部分群が存在する。
  • 位数\( 108=2^3 3^3 \)なら、4と27の部分群が存在する。
  • このような群はシロー群と呼ばれる。\( |G| = p^m l (p: prime, p, l : coprime) \)の時、位数\( p^m \)のGの部分群をGのp-シロー群と呼ぶ
    • p-シロー群は1つとは限らず、1つ以上あるならば、その個数は\( 1+kp \)である。
    • また、p-シロー群は互いに共役である。

位数の低い群 †

• 群の直積: 群G, Hに、\( G \times H = {(g, h) | g \in G, h \in H} \)に対して、演算\( (g, h) \cdot (g', g') = (g g' , h h') \)
  • 位数は\( |G\times H| = |G| |H| \)
• 巡回群\( Z_m, Z_n \)について、\( Z_n \times Z_m \)は\( n, m: coprime \)の時に巡回群\( Z_{nm} \)
• なんか一般性がなさそうなのでここは飛ばす

共役類 †

• 自分自身の上への両側からの働き\( \lambda_g(h) = ghg^{-1} \)のG-軌道を考える。
• \( a \in G \)のG-軌道を、共役類\( C(a) \)と呼び、共役類の元を\( a \)に共役な元と呼ぶ。
  • \( b \in C(a) \Leftrightarrow \exists g \in G\ b = g a g^{-1} \)
• 両側からの働きの性質から、\( C(a) = {a} \Leftrightarrow a \in Z \)
• 中心化群: 元\( \tilde{a} \)と可換な元全体
  • \( C_{\tilde{a}} = {g | g \tilde{a} = \tilde{a} g} \)
• \( |G|=|C_\tilde{a}| |C(\tilde{a})| \)

• \( S_7 \)の共役類
  • 対称群は、巡回置換の積で表される。この積は可換である。
  • 実は、\( S_7 \)の共役類は、巡回群の積で表記した時に、単に名前を\( k \rightarrow i_k \)と変えるだけで表される
  • \( \sigma = (1 3)(2 4)(5 6 7) \), \( \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ i_1 & i_2 & i_3 & i_4 & i_5 & i_6 & i_7\end{pmatrix} \), \( \tau \sigma \tau^{-1} = (i_1 i_3)(i_2 i_4)(i_5 i_6 i_7) \)

共役な部分群と正規部分群 †

• Gの部分群全体の作る集合を\( \mathfrak{M} \)とする（冪集合みたいなやつ）
• \( G \)は\( \mathfrak{M} \)にも働く！\( g: H \Rightarrow g H g^{-1} \)で、\( g \)は\( Map(G, \mathfrak{M}) \)の元である。

準同型 †

• 群の準同型の例を３つ示せ。また、それらの像および核を求めよ

具体的な応用 †

• http://www.prefield.com/algorithm/dp/money_change.html 「準同型ほにゃららによって達成できる」かっこ良すぎる

• H が G の正規部分群であることを、H ◁ G と書く． aHとかHaとかって、要するにHの要素全部にaをかけただけの集合 H/Xとかは？集合Hxが同じになることがあるので、[x]で代表している。並進対称の格子だと、単位格子の中のものにΓをかけるだけで、Γxを代表できている！

興味 †

• 保型形式、面白そう。 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/fundamental-domain-game