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概要 †
目次 †
用語 †
置換 †
- \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \end{pmatrix} \)
- n次対称群＝置換群＝\( \{a_1, ..., a_n\} \) の置換全体が作る群=\( S_n \)
- 正6面体群=\( P(6) \cong S_4 \)
- 4本対角線を元として見ると、その回転により群をなす
- 群\( G \)と群\( G' \)が同型 \( \Leftrightarrow \exists \phi \in Map(G, G')\ \phi(a b) = \phi(a) \phi(b) \)
- 互換
- 2要素を交換する置換
- \( \forall \sigma \in S_n\ \) \( \sigma \)は互換の積で表される \( \Leftrightarrow \) \( S_n \)は互換によって生成される
- 偶置換・奇置換、偶置換がなす群\( A_n \)
- 置換を互換に分解した時、必要な互換数の偶奇で、偶置換と奇置換が分類される
- 偶置換のみを取り出すと、群\( A_n \)になる（奇置換ではならない。なぜなら奇置換x奇置換=偶置換だから）
- 偶置換x奇置換=奇置換、といったように、mod 2っぽくなる
同値 †
- 群Gと、Gの部分群Hが与えられているとする。
- Hは、いい加減に取るのではなく、これ自体で群であることに注意。
- \( a \sim b \Leftrightarrow \exists h \in H\ b = a h \)
- 例: \( G \)は整数群、\( H_0 \)は3で割って0になるような整数群。すると\( 6 \sim 3 \)。同様に\( H_1, H_2 \)も定義可能
- 同値類\( aH \)（注意：これは集合である）
- \( aH = {ah | h \in H} \)
- 同値類には左右がある。元aが左に付いているものは、左同値類、右についているものは右同値類。
- \( \forall s, t \in aH\ s \sim t \)
- 同値類による類別
- Gは、Hの元に\( a_1=1 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_2 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_3 \)を作用させたもの…で類別できる。
- \( G = \displaystyle \bigcup_a aH \)
- 何故か、\( G = H + a_2 H + ... \)と表記するらしい
- 重要: \( |H| = |a_i H| \)。理由は、\( H \)の元と\( a_i H \)の元は、一対一対応するから。
- 従って、ラグランジュの定理として、|H|は|G|の約数であることがわかる。
巡回群\( R_n \) †
- \( R_n \): 1->2->...->n->1->2->... みたいな群。これを巡回群という。
- 巡回群は可換群。
- 巡回部分群
- 有限群なら有限なので、単位元\( e \)以外のものをかけ続ければいつかはループするというアイディアを数式化したもの。
- 一般の群\( G \)に対して、\( H={a, a^2, a^3, ...} \)が巡回群Hであるとする
- 「一般の」というのは重要。いつかはループする。
- Hは「aから生成されたGの巡回部分群」といい、Hの位数を「aの位数」という
- 位数という単語が、今confusingになりました！！つらい
- 定理: \( a \in G \)の位数は、\( |G| \)の約数。
- 定理: \( a^{|G|} = e \)（上の定理から即導かれる）
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