群論 のバックアップ(No.3)

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  • 1 (2017-01-16 (月) 18:53:04)
  • 2 (2017-01-16 (月) 21:14:39)
  • 3 (2017-01-18 (水) 08:03:03)
  • 4 (2017-01-23 (月) 21:15:13)
  • 5 (2017-03-23 (木) 06:48:16)

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概要 †

• 群論ちゃんと勉強しましょう

目次 †

用語 †

• 位数
  • 有限群の元の個数

置換 †

• \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \end{pmatrix} \)
  • 右上から、左に向かって参照していく

• 置換は非可換

• n次対称群＝置換群＝\( \{a_1, ..., a_n\} \) の置換全体が作る群=\( S_n \)
  • n次対称群の位数はn!

• 正6面体群=\( P(6) \cong S_4 \)
  • 4本対角線を元として見ると、その回転により群をなす
  • 群\( G \)と群\( G' \)が同型 \( \Leftrightarrow \exists \phi \in Map(G, G')\ \phi(a b) = \phi(a) \phi(b) \)

• 互換
  • 2要素を交換する置換
  • \( \forall \sigma \in S_n\ \) \( \sigma \)は互換の積で表される \( \Leftrightarrow \) \( S_n \)は互換によって生成される

• 偶置換・奇置換、偶置換がなす群\( A_n \)
  • 置換を互換に分解した時、必要な互換数の偶奇で、偶置換と奇置換が分類される
  • 偶置換のみを取り出すと、群\( A_n \)になる（奇置換ではならない。なぜなら奇置換x奇置換=偶置換だから）
  • 偶置換x奇置換=奇置換、といったように、mod 2っぽくなる

同値 †

• 群Gと、Gの部分群Hが与えられているとする。
  • Hは、いい加減に取るのではなく、これ自体で群であることに注意。
• \( a \sim b \Leftrightarrow \exists h \in H\ b = a h \)
  • 例: \( G \)は整数群、\( H_0 \)は3で割って0になるような整数群。すると\( 6 \sim 3 \)。同様に\( H_1, H_2 \)も定義可能
• 同値類\( aH \)（注意：これは集合である）
  • \( aH = {ah | h \in H} \)
  • 同値類には左右がある。元aが左に付いているものは、左同値類、右についているものは右同値類。
  • \( \forall s, t \in aH\ s \sim t \)
• 同値類による類別
  • Gは、Hの元に\( a_1=1 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_2 \)を作用させたもの、Hの元に\( a_3 \)を作用させたもの…で類別できる。
  • \( G = \displaystyle \bigcup_a aH \)
  • 何故か、\( G = H + a_2 H + ... \)と表記するらしい
  • 重要: \( |H| = |a_i H| \)。理由は、\( H \)の元と\( a_i H \)の元は、一対一対応するから。
  • 従って、ラグランジュの定理として、|H|は|G|の約数であることがわかる。

巡回群\( R_n \) †

• \( R_n \): 1->2->...->n->1->2->... みたいな群。これを巡回群という。
• 巡回群は可換群。
• 巡回部分群
  • 有限群なら有限なので、単位元\( e \)以外のものをかけ続ければいつかはループするというアイディアを数式化したもの。
  • 一般の群\( G \)に対して、\( H={a, a^2, a^3, ...} \)が巡回群Hであるとする
    • 「一般の」というのは重要。いつかはループする。
    • Hは「aから生成されたGの巡回部分群」といい、Hの位数を「aの位数」という
    • 位数という単語が、今confusingになりました！！つらい
  • 定理: \( a \in G \)の位数は、\( |G| \)の約数。
    • 例: \( S_3 \)を考える。\( S_3 \)の元の位数は、サイクルになりえる元の数なので、全パターンとりえて、1か2か3。ところで\( |S_3| = 1*2*3 \)なのでそうですね。
  • 定理: \( a^{|G|} = e \)（上の定理から即導かれる）
    • これすごい。群の位数の特徴付けとも言えるレベル。
    • 任意の群Gで、任意の群Gの元を取ってきても、位数乗すると単位元に戻る！
  • 定理: 群\( G \)の位数が素数\( p \)であるとすると、\( G \)は巡回群かつ単位元以外の元は全て位相\( p \)
    • 位数\( 4 \)における反例: 位数\( 4 \)の群\( G \)には、単位元以外の全ての元の位数が\( 2 \)になる、「クラインの4元群」がある

整数と群 †

• 整数\( n \)に関する余剰類\( [i] \)
  • 定義: \( [i] = {..., i-n, i, i+n, ...} \)
• 定理: aとbが互いに素\( \Leftrightarrow \) \( \exists x, y \in \mathbb{Z}\ a x + b y = 1 \)
• 「\( n \)と素な余剰類\( [a] \)」=「\( n \)の既約余剰類」
  • 要するに\( a \)と\( n \)が互いに素
  • \( n \)が素数なら楽だが、そうでないと余剰類の数は限定される（\( n=6 \)だと、\( [1], [5] \)しか既約余剰類でない）
• 定理: \( n \)の既約余剰類全体\( \mathbb{Z_n^*} \)は、乗法によって可換群
• \( \mathbb{Z_n^*} \)の元の数
  • 定理: \( |\mathbb{Z_p^*}|=p-1 \), where \( n=p \), \( p \)は素数
  • 定理: \( \displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p^k(1-\frac{1}{p}) \), where \( n=p^k \), \( p \)は素数
  • 定理: \( \displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p_1^{k_1}...p_s^{k_s}(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_s}) = \phi(n) \)（オイラーの関数）

• 定理: \( a \in \mathbb{Z_n^*}\ a^{\phi(n)} \equiv 1 \)
  • 群Gの任意の元aは、位数乗で単位元に戻ってくるのでそれはそう。
  • フェルマーの小定理: \( n=p \), \( p \)は素数の時、\( \phi(n)=n-1 \)であることからフェルマーの小定理が確認できる

群の働き †

• 定義: 群\( G \)が集合\( M \)の上に働く \( \Leftrightarrow \) \( \forall g \in G\ g \in Map(M, M) \) \( \land \) \( \forall x \in M\ g_1(g_2(x)) = (g_1 g_2)(x) \) \( \land \) \( \forall x \in M\ g \in G g(x) = x \)
  • 要するに、Gの元は全部、M->Mへの関数です。関数が群っぽくあって欲しいです。ということは、関数合成が結合的で、Gの単位元は恒等写像であって欲しいです。ということ
  • 実は\( g \in G \)は、1対1写像！（重要）
• 逆に、群\( G \)を集合\( M \)の上に働かせるのに、定めるべきことは？
  • 「全ての\( g \in G \)について、\( \phi_g(h), where h \in M \)を定義」すれば、群\( G \)が集合\( M \)の上に働くと言えるね