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[[数学]]
//表記ゆれ用、クオータニオン
*概要 [#w6532204]
-特徴
--計算が軽い
--角速度ベクトルが直で使える
--時間発展も楽。
-アフィン変換もできる二重クォータニオンなるものもある
*参考 [#o3d0df66]
-金谷一朗さんのベクトル・複素数・クォータニオンの資料を参考
-http://www.mss.co.jp/technology/report/pdf/18-07.pdf
-[[具体的な計算例がある>http://mathtrain.jp/quaternion]]
-http://www.slideshare.net/tokoro10g/quadruptor
*未整理 [#xabe7321]
四元数の積は可換ではない
||SO(2)|複素数|SO(3)|エルミート表示|SU(2)|クオータニオン表示|
|表示|Z=[a, b]_M=a1+bI|z=[a, b]=a+bi|||||
|転置|z^t=[a, -b]|Z^t=[a, -b]_M|||||
|逆|&mimetex($z^{-1}=\frac{z^*, z^2}$);||||||
|共役相当|||||||
|回転|||||||
ベクトルの回転変換がSU(2)の世界では相似変換となる。
1階テンソル=2階スピノール
SO(3)=SU(2)/C_2 (C_2は2次巡回群)
リー代数so(3)=su(2)
SO(2)=U(1)
exp(A)exp(B)=exp(A+B)は、可換の時だけ。
一般のexp(A)exp(B)は、ベーカーキャンベルハウスドルフの公式で求まる。
SU(2)は、単位行列成分と3つのパウリ行列で表せる。
特殊ユニタリ行列はパウリ行列の線形和で表される。
3次元ベクトルのエルミート表示＝x_i s_i（3次元）
オイラー角に相当する回転を実現
線形化すればオイラー角の合成も可能
3次元ベクトルのクォータニオン表示＝[0, x_i s_i](3次元、だが積で4次元になる)
任意の三次元ベクトル中心回転が可能。
クォータニオン積が、単位行列成分が内積・パウリ行列成分が外積となる
-so(3)->SO(3)の写像は指数関数である。
|exp(対称行列)=対称行列|exp(エルミート行列)=エルミート行列|
|exp(反対称行列)=直交行列|exp(反エルミート行列)=ユニタリ行列|
*整理 [#fa2be276]
-定義
--$\sigma_i$はパウリ行列
--$J_i$は生成子
||反対称行列=SO(2)|複素数|SO(3)|エルミート表示=SU(2)|クォータニオン表示|h
|ベクトルの表示|$Z=[a, b]_M=a1+bI$|$z=[a, b]=a+bi$||$\xi = \sigma_i x^i$|$q=[0, \sigma_i x^i]$。重要なのは、これが回転行列の表記が同じこと|
|回転の表示||||$U=\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta^* & \alpha^* \end{bmatrix}=1u_0+i\sigma^i u_i, \Sigma u_i^2 = 1$|$U=\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta^* & \alpha^* \end{bmatrix}=1u_0+i\sigma^i u_i, \Sigma u_i^2 = 1$|
|特殊直交|特殊直交行列||特殊直交行列|特殊ユニタリ行列|特殊ユニタリ行列|
|逆|$Z^{-1}=\frac{z^t}{norm(Z)^2}$|$z^{-1}=\frac{z^*}{norm(z)^2}$|||$q^{-1} = \frac{q^*}{norm(q)^2}$|
|共役相当|転置|共役||エルミート共役|共役クォータニオン|
|内積|$<A, B>=\frac{1}{2} tr(A^t B)$|||$<A, B>=\frac{1}{2} tr(A^\dagger B)$|$<q_{(1)}, q_{(2)}> = \frac{1}{2} tr(q_{(1)}^* q_{(2)})$|
|ノルムの二乗|$<Z, Z>$|$z^* z$||$<Z, Z>$|$<q, q>$|
|回転|$T(\theta)=\exp[0, \theta]_M=[\cos(\theta), \sin(\theta)]_M$|$T(\theta)=\exp[0, \theta]=[\cos(\theta), \sin(\theta)]$|$T_i(\theta)=exp(J_i \theta)$|$U_i(\theta)=\exp[0, \sigma_3 \theta_3 /2], \xi' = U_3 \xi U_3^\dagger$|$V_i(\theta)=\exp[0, \sigma_3 \theta_3 /2], \xi' = V_3 \xi V_3^\dagger$|
|一般回転|||$T(\Delta \theta)=exp(J_i \Delta \theta_i)=\bf{1}+J_i \Delta \theta_i$|オイラー角回転$U_i(\theta)=\exp[0, \sigma \theta /2], \xi' = U \xi U^\dagger$|i軸回り回転$V_i(\theta)=\exp[0, \sigma \theta /2], \xi' = V \xi V^\dagger$, 正規ベクトルr周り$V_i(\theta, r)=[\cos(\theta/2), \sigma_i r^i \sin(\theta /2)], \xi' = V \xi V^\dagger$|
|備考|||||クオータニオンX, Yに対して$XY=-[<x, y>, \sigma_i (x \times y)]$、$\xi' = V \xi V^\dagger$は座標系回転なので、ベクトル回転したい場合は左手ルール（必ず右からVをかける）を用いて$\xi' = V^\dagger \xi V$、球面線形補完可能|
-といいつつも、左手トリックを使わずにふつうにクォータニオンを左からかけて変換になってるんだが…
-クォータニオン積を実現する、同値な4次元ベクトルと4次行列（反対称行列）が存在
--クォータニオン$[\omega_0, \omega_i]$に対して、
--反対称行列$\begin{bmatrix} \omega_0 & -\omega_1 & -\omega_2 & -\omega_3 \\ \omega_1 & \omega_0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_2 & \omega_3 & \omega_0 & -\omega_1 \\ \omega_3 & -\omega_2 & \omega_1 & \omega_0 \\ \end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} \omega_0 \\ \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{bmatrix}$がそれぞれ同値。
-$q = (a, v), P = (w, x)$に対して、qPq'に同値なクォータニオンの行列表示M P_Mが存在し、Mは以下のように表現可能
--$M = 1/norm(q)^2 \begin{bmatrix} norm(q)^2-2v_y^2-2v_z^2 & 2v_x v_y-2av_z & 2v_x v_z+2av_y & 0 \\2v_xv_y+2av_z &norm(q)^2-2vz2-2vx2 &2vyvz-2avx &0 \\2v_xv_z-2av_y &2v_yv_z+2av_x &norm(q)^2-2 v_y^2-2v_y^2 &0 \\0 &0 &0 &norm(q)^2\end{bmatrix}$
-時間発展
--地球座標系からセンサ座標系の単位クォータニオンqに対して、センサ座標系で観測された角速度ベクトルωによる、qの時間発展 [D.R.P.R.B.M.Joseph M. Cooke, 1994]
---$\dot{q} = q [0, \omega]/2$
--地球座標系からセンサ座標系のSO(3)の元Rに対して、センサ座標系で観測された角速度ベクトルωによる、Rの時間発展（[[回転行列の時間発展と証明>http://maildbs.c.u-tokyo.ac.jp/~kuniba/atsuo/mech2005_s.pdf]]）
---$\dot{R} = \Omega R$ただし$\Omega=\omega \times = \begin{bmatrix}0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}$
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