電験
概要 †
- \( \left\{\begin{array}{ll}{\nabla \cdot \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})} & {=0} \\ {\nabla \times \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})+\frac{\partial \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})}{\partial t}} & {=0} \\ {\nabla \cdot \boldsymbol{D}(t, \boldsymbol{x})} & {=\rho(t, \boldsymbol{x})} \\ {\nabla \times \boldsymbol{H}(t, \boldsymbol{x})-\frac{\partial \boldsymbol{D}(t, \boldsymbol{x})}{\partial t}} & {=\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x})}\end{array}\right. \)
資料 †
初等電磁気学 †
物理量 †
- 電界 [V/m] = [N/C]
- \( F \overset{\text{def}}{=} q E \)
- 電界に電荷を置くと電界の方向に力がかかる。
- 電荷を置くとガウスの法則により電界が発生する。
- 電気力線はクソ概念。電気力線は要するに電界だし、電気力線の本数は要するに電界の面での積分。
- 注意: 電界と電束は異なる！電束で詳説
- 電位 [V]
- 電束密度 D [C/m^2]
- 等方性を前提すると、\( D \overset{\text{def}}{=} \epsilon E \) [C/m^2]
- なぜ電界のような同じ概念を導入しなければならなかったのか？？？
- 誘電体は分極するから誘電体。誘電体でもガウスの法則が成り立つように無理やり導入された量
- ガウスの法則の積分で、中に入っている電荷 q があったとしても、実際には面の中に入っている物質が分極して逆の電荷を帯びるので、閉曲面から出る**電界**の積分は必ずしも q に一致しない。
- しかし実験家の立場からすれば,意図的に用意したのはプラスの電荷だけであって,それによる分極でどのくらいの電荷が顔を出したのかについて知るのは困難である.分極によって生じた電荷を気にせずにガウスの法則を使うことができるような物理量があると便利である
- なので、電界に何かよくわからない量を書けて、辻褄を合わせようという魂胆で導入された概念。
- 電束 [C]
- ガウスの法則の積分で、取った面\( S \)のある一部の面\( S_{partial} \)に着目したときの \( \int_{S_{partial}} \epsilon {\bf E \cdot n} \) のこと。\( \epsilon \) がかけられているので内部での誘電が補正されて単位が Q になっている。
- 静電容量 [C/V]
- \( C \overset{\text{def}}{=} Q / V \)
キルヒホッフの法則 †
- キルヒホッフの法則: 任意の有向閉ループに対して電位差を積分すると 0 V
- 基本的には電流の微分方程式として立式することになる。
- 要素
- 抵抗: \( R i \)
- コンデンサ: \( q / C (q = \int i di) \) (C: 電気容量)
- コイル: \( L \dot{i} \) (L: インダクタンス)
- モデリング
- 電線ごとに電流が一定なので、電流に対して時系列電流 i を定義する。
- 回路の方程式は独立な閉回路の数だけ立式すればよい。あとは微分方程式が解くだけ。
- 交流の場合には、電圧が\( V \sin(\omega t) \)だと思って微分方程式を解けばよい。
ガウスの法則 †
- \( \int_S {\bf E} \cdot {\bf n} dS = Q / \epsilon \) 任意の曲面 S について。\( {\bf n} \) は曲面を外側に出る垂直単位ベクトル
- どんな閉じた曲面であってもそれを垂直に貫く電界強度の合計は \( Q / \epsilon \) に等しい
- 電気力線は\( {\bf E} \cdot {\bf n} \), 電束は\( \epsilon {\bf E} \cdot {\bf n} \)ってこと
- 例 https://physnotes.jp/em/gauss-law/
- 点電荷: \( E = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q}{r^2} \) (証明略: S を半径 r の球とするといい)
- 面電荷: \( E = \frac{\rho}{2\epsilon} \) ただし \( \rho \) は面電荷密度 (証明略: S を平板の一部を貫く平板と平行な直方体を考えるといい)
- 通常コンデンサの観点では二枚面電荷があるので、その場合は\( E = \frac{\rho}{\epsilon} \) ただし \( \rho \)は面電荷密度となる
- クーロンの法則は、ガウスの法則→点電荷の電位計算→クーロンの法則で導出されるので覚えなくていい
磁場 †
- 磁場 [N/Wb]
- \( m \) [Wb] の磁極が磁場 \( {\bf H} \) から受ける力は \( {\bf F} \overset{\text{def}}{=} m {\bf H} \)
- 磁束密度 \( \bf B \) [T = Wb/m^2]
- \( {\bf B} \overset{\text{def}}{=} \mu {\bf H} \), ただし \( \mu \) は透磁率
- 磁束 \( \Phi \) [Wb]
- \( \Phi = \int_S {\bf B} \cdot {\bf n} dS \)
- ファラデーの電磁誘導の法則
- \( V = \oint_{L} {\bf E} \cdot d{\bf l} = - \dot{\Phi_{S}} \) ただし L は任意の閉ループ、S は L で囲まれた任意の曲面
- \( {\bf E} \) の時間積分は定義上電圧
- アンペールの法則
- \( \oint_{\partial S} B d {\bf l} = \int_S j d{\bf S} \)
- 面の境界∂Sにおいて、磁界(磁場)の接線Hを足し合わせる(積分する)と、足し合わせた結果は、面Sを貫く電流jの和に比例する
- ローレンツ力
- \( {\bf F} = q {\bf v} \times {\bf B} \)
具体的な問題 †
交流回路 †
インピーダンス †
- 遅れとか進みとか言っているから意味がわからなくなる。インピーダンス三角形とかいらない。全体として複素数がわからないような人のために教科書を作るから訳がわからなくなっている。難しく考えない。
- 直流だと電位だけで良かったが、交流では電位と位相の 2 つがあるので複素数で表そうというのが本質的な導入理由
- 複素数の信号\( X \)（大文字で表す）は、時間空間での信号（小文字で表す） \( x = |X| \sin (\omega (t + \arg(X))) \) を表す。
- 複素数の信号は \( \omega \) に隠れて依存していることに注意。複数の信号に関する数式は、周波数領域全体について語っている。
- 抵抗・コイル・キャパシタを全部抵抗チックなインピーダンスとして扱える
- 抵抗 \( R \), コイル \( j \omega L \), キャパシタ \( \frac{1}{j \omega C} \)
- 交流\( V \)にコイル\( L \)がついている。電流は？
- \( Z=j\omega L \), \( V=ZI \), \( I=-jV/\omega L \) → \( i = |I| \sin (t + \arg(|I|)) = V/\omega L \sin (\omega(t - \pi / 2)) \)。結果として「遅れ」になっている。
- 共振とかも普通に数式を解くだけ。
- 直列RLC回路は\( V=(j \omega L + 1 / (j \omega C) + R) I \Leftrightarrow I = V / (j (\omega L - 1/ (\omega C)) + R) \)なので、\( I \) を最大化する \( \omega \)は \( \omega L - 1 / (\omega C) = 0 \) の時。
- 並列RLC回路は\( V=( (j \omega L) ^ {-1} + (1 / (j \omega C))^{-1} + R^{-1})^{-1} I \Leftrightarrow I = (j (\omega C - 1 / (\omega L)) + 1/R) V \) なので、\( I \) を最小化する \( \omega \)は \( \omega C - 1 / (\omega L) = 0 \) の時。
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