オイラー角

数学
Maxima

概要 †

• 即刻導出できるようにするための資料
• 12パターンある上に不定性があって，毎回考えなおすのはつらいので．

全部軸が違うよパターン †

• 参考
• 6パターンあるが，順番をZYXだけ解説すればよい．そしてアルファベータガンマだと直感的でないのでx,y,zで代用
• まずmaximaでzyxを計算 (maxima -b rot.maxima)

Z:matrix([cos(z), -sin(z), 0],[sin(z), cos(z), 0], [0, 0, 1]);
Y:matrix([cos(y), 0, sin(y)],[0, 1, 0], [-sin(y), 0, cos(y)]);
X:matrix([1, 0, 0],[0, cos(x), -sin(x)], [0, sin(x), cos(x)]);

Z.Y.X;
trigreduce(ev(Z.Y.X, y = -%pi/2));
trigreduce(ev(Z.Y.X, y = +%pi/2));

readline(?\*standard\-input\*);

• 結果

(%i5) Z . Y . X
               [ cos(y) cos(z) ]
               [               ]
(%o5)  Col 1 = [ cos(y) sin(z) ]
               [               ]
               [   - sin(y)    ]
         [ sin(x) sin(y) cos(z) - cos(x) sin(z) ]
         [                                      ]
 Col 2 = [ sin(x) sin(y) sin(z) + cos(x) cos(z) ]
         [                                      ]
         [            sin(x) cos(y)             ]
         [ sin(x) sin(z) + cos(x) sin(y) cos(z) ]
         [                                      ]
 Col 3 = [ cos(x) sin(y) sin(z) - sin(x) cos(z) ]
         [                                      ]
         [            cos(x) cos(y)             ]
(%i6) trigreduce(ev(Z . Y . X,y = (-%pi)/2))
                       [ 0  - sin(z + x)  - cos(z + x) ]
                       [                               ]
(%o6)                  [ 0   cos(z + x)   - sin(z + x) ]
                       [                               ]
                       [ 1       0             0       ]
(%i7) trigreduce(ev(Z . Y . X,y = (+%pi)/2))
                       [  0   - sin(z - x)  cos(z - x) ]
                       [                               ]
(%o7)                  [  0    cos(z - x)   sin(z - x) ]
                       [                               ]
                       [ - 1       0            0      ]

• 実際求めてみると，2番目の回転の成分が一項だけのものが出てくる．これを鍵要素と定義する．ここではm20=-sin(y)が鍵要素であり，yが鍵．-pi/2<=y<=+pi/2で動くと仮定
  1. cos(鍵)が0でないとき（つまりyが-pi/2でもpi/2でもないとき）
     • yを普通にasinで解く．y = asin(-m20)
     • x, zは，鍵要素を有する行と列を割り算することで，tanが出てくるので普通に解く．x = atan2(m21, m22), z = atan2(m10, m00)
  2. cos(鍵)が0の時
     • m20が1ならy=-pi/2, m20が-1ならy=+pi/2
     • 1番目回転-3番目回転が項にまとまってしまい，不定になるので，3番目回転のx=0としてしまう．
     • z = atan2(m12, m02)

• 実装

      // zyx Euler
      double x = 0, y = 0, z = 0; // [rad]
      if (std::abs(_0sR(2, 0) /*zyxで最も単純になる行列要素*/ - 1) > EPS && std::abs(_0sR(2, 0) + 1) > EPS) {
        y = asin(-_0sR(2, 0));
        x = atan2(_0sR(2, 1), _0sR(2, 2));
        z = atan2(_0sR(1, 0), _0sR(0, 0));
      } else {
        if (_0sR(2, 0) > 0) {  // _0sR(2, 0) == 1
          y = -M_PI / 2;
        } else { // _0sR(2, 0) == -1
          y = +M_PI / 2;
        }
        x = 0; // xzの不定性より
        z = atan2(_0sR(1, 2), _0sR(0, 2));
      }
      cerr << x << " " << y << " " << z << "#euler" << endl;

初めに回転させた軸でもう一回回転させるよパターン †

• 6パターンある
• まだ必要になっていないので書かない