電験

🔗概要

• $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /ϵ$
• $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
• $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
• $\nabla \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{j}+ϵ\mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
• $F=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$

🔗目次

• 資料
• 発展的な話題
• 初等電磁気学
  • E-B 対応
  • Maxwell 方程式の定性的な解釈
  • Maxwell 方程式の微分系
  • Maxwell 方程式の積分系
  • 磁荷がないなら、永久磁石って何？
  • 物理量
  • キルヒホッフの法則
  • ガウスの法則
  • ビオ・サバールの法則
  • 磁場
  • 具体的な問題
• 直流回路
  • テブナンの定理
• 要素
• 交流回路
  • インピーダンス
  • 電力
  • 発振回路
• 半導体
  • 概要
• 増幅器
  • トランジスタ
  • FET
  • オペアンプ

🔗資料

• https://detail-infomation.com/amperes-circuital-law/
  • まともな電磁気学のサイト

🔗発展的な話題

• マックスウェル方程式は、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを導入すると一本の式にまとめられる。
  • スカラーポテンシャルは通常の電磁気学のポテンシャル
  • ベクトルポテンシャルは、$B=\nabla \times A$ となるような $A$ であり、磁場はベクトル・ポテンシャルの渦として顕現しているという考え方をする。
  • これは式で遊んでいるわけではなく、電界・磁界がない場での 1 電子自身による干渉であるアハラノフ・ボーム効果を説明できるため、より本質的な電磁気学の理解だと考えられている。

🔗初等電磁気学

• 黙って微分方程式を解く。

🔗E-B 対応

• 「ファインマン物理学 III 電磁気学」では最初から徹頭徹尾 E-B 対応。D, H はやめろ
  • 誘電率・誘磁率は、「真空ではなく空気だから仕方なく」導入されているような補正項（例えば誘電率の場合は、空気が帯電して物理法則と観測がずれるので、その分を補正してあげようというだけの話）
  • 物理的に本質的な物理量を見極めよう

🔗Maxwell 方程式の定性的な解釈

• 電場と磁場について、発散と回転それぞれが規定される。

  • 電場
    • 電荷があると、電場が湧き出す。
    • 電場が回転するには、閉曲線を貫く磁束が変化することで発生する。
  • 磁場
    • 磁場が湧き出すような、電荷に相当する「磁荷」なるものは存在しない。
    • 閉曲面に入る磁束と出る磁束の総量は同じである。
    • 磁場が回転するには、閉曲線を貫く電流があるか、閉曲線を貫く電束が変化することで発生する。

• 電磁気学は、線形微分方程式である。

• 時間変化しない場合、電場と磁場は独立になる。

• 電場と磁場は、互いにその時間微分に依存するため、特定の条件で波動方程式を満たし波動の性質を持つ。

🔗Maxwell 方程式の微分系

• E, B で覚えるとよい。D, H は記憶量が増えて悪影響しかない

• http://www.maroon.dti.ne.jp/koten-kairo/works/transistor/Section2/momentum2.html#ampere2

• $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /ϵ$

  • ガウスの法則 (電場、1 本)
  • $\rho$ は電荷密度 [C/m^3]
  • メンタルモデルは、「微小直方体を考える。x, y, z 軸方向に貫く電場の面積分は、その中に入っている電荷に比例する」
  • $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ を両辺にかけると、直方体の中の電荷と直方体を貫く電場の関係であることがわかりやすい
  • $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /ϵ$
  • $\iff \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=\rho /ϵ$
  • $\iff (E_x(x+\mathrm{d}x)-E_x(x))/\mathrm{d}x+(E_y(y+\mathrm{d}y)-E_y(y))/\mathrm{d}y+(E_z(z+\mathrm{d}z)-E_z(z))/\mathrm{d}z=\rho /ϵ$
  • $\iff (E_x(x+\mathrm{d}x)-E_x(x))\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(E_y(y+\mathrm{d}y)-E_y(y))\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(E_z(z+\mathrm{d}z)-E_z(z))\mathrm{d}x\mathrm{d}y=Q/ϵ(Q=\rho dxdydz)$
  • ↑変化しない引数は省略している
  • 例えば $\iff (E_x(x+\mathrm{d}x)-E_x(x))\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ は、x, x+dx にある dy dz の面積をもつ x 方向の法線を持つ微小長方形を考えて、そこを通過する電気力線の本数の差を表している（より発散していると正）。
  • x, y, z の三方向の和が $Q/ϵ$ なので、結局電気力線の吐き出し量が $Q/ϵ$ ということになる。

• $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$

  • モノポールの非存在, (磁場、1 本)
  • ガウスの法則を理解していると、非常にわかりやすい。どの面を見ても、磁束密度 B を面積分の意味で吸い込む量と吐き出す量が同じ。
  • 後々電磁波の式をいじる時に「∇・Bはゼロなんだから足しても引いてもいいでしょ？」 という感じで突然式の中に付け足したりすることがある

• $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

  • ファラデーの法則 (電場、3 本)
  • メンタルモデルは、「xy 平面上の微小長方形の回路を考える。回路上での電場の回転は、回路を貫く z 軸方向の磁束密度の時間変化に比例する」が xy, yz, zx 平面のそれぞれで発生している
  • まず x 方向の一方向だけ考える
  • $\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{E_y}{\partial \partial z}=-\frac{\partial {\mathbf{B}}_{\mathbf{x}}}{\partial t}$
  • $\iff (E_z(x,y+\mathrm{d}y,z)-E_z(x,y,z))/\mathrm{d}y-(E_y(x,y,z+\mathrm{d}z)-E_y(x,y,z))/\mathrm{d}z=-\frac{\partial {\mathbf{B}}_{\mathbf{x}}}{\partial t}$
  • $\iff (E_z(x,y+\mathrm{d}y,z)-E_z(x,y,z))\mathrm{d}z-(E_y(x,y,z+\mathrm{d}z)-E_y(x,y,z))\mathrm{d}y=-\frac{\partial {\mathbf{B}}_{\mathbf{x}}}{\partial t}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
    • ここで、何となく $E_z(x,y+dy,z)>0,E_z(x,y,z)<0$ をイメージすると、第一項は長さ dz の棒にかかるモーメントみたいな式になっている。
  • $\iff E_z(x,y+\mathrm{d}y,z)\mathrm{d}z-E_z(x,y,z)\mathrm{d}z-E_y(x,y,z+\mathrm{d}z)\mathrm{d}y+E_y(x,y,z)\mathrm{d}y=-\frac{\partial {\mathbf{B}}_{\mathbf{x}}}{\partial t}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
    • 微小長方形に沿った線積分とのイメージの対応は以下だが、各辺で何故始点と終点を勝手に入れ替えたりしてよいのかは謎。だからモーメントだと思ったほうが適切な数学的な理解だという認識をしている。
    • (y, z) -> (y + dy, z): $E_y(y,z)dy$
    • (y + dy, z) -> (y + dy, z + dz): $E_z(y+dy,z)dz$
    • (y + dy, z + dz) -> (y, z + dz): $E_y(y,z+dz)(-dy)$
    • (y, z + dz) -> (y, z): $E_z(y,z)(-dz)$

• $\nabla \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{j}+ϵ\mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

  • アンペール・マックスウェルの法則 (磁場、3 本)
  • メンタルモデルは、「xy 平面上の微小長方形の回路を考える。回路上での磁場の回転は、回路を貫く z 軸方向の電流と回路を貫く z 軸方向の電場の時間変化に比例する」が xy, yz, zx 平面のそれぞれで発生している
  • モノポールの非存在が実質的にあまり情報量がないため、磁場はほぼこの式によって構成される。