概要

特徴
- 計算が軽い
- 角速度ベクトルが直で使える
- 時間発展も楽。
アフィン変換もできる二重クォータニオンなるものもある

参考

金谷一朗さんのベクトル・複素数・クォータニオンの資料を参考
http://www.mss.co.jp/technology/report/pdf/18-07.pdf
具体的な計算例がある
http://www.slideshare.net/tokoro10g/quadruptor

未整理

四元数の積は可換ではない

ベクトルの回転変換がSU(2)の世界では相似変換となる。 1階テンソル=2階スピノール SO(3)=SU(2)/C_2 (C_2は2次巡回群) リー代数so(3)=su(2)

SO(2)=U(1)

exp(A)exp(B)=exp(A+B)は、可換の時だけ。一般のexp(A)exp(B)は、ベーカーキャンベルハウスドルフの公式で求まる。

SU(2)は、単位行列成分と3つのパウリ行列で表せる。特殊ユニタリ行列はパウリ行列の線形和で表される。

3次元ベクトルのエルミート表示＝x_i s_i（3次元）オイラー角に相当する回転を実現線形化すればオイラー角の合成も可能

3次元ベクトルのクォータニオン表示＝0, x_i s_i 任意の三次元ベクトル中心回転が可能。クォータニオン積が、単位行列成分が内積・パウリ行列成分が外積となる

so(3)->SO(3)の写像は指数関数である。


exp(対称行列)=対称行列	exp(エルミート行列)=エルミート行列
exp(反対称行列)=直交行列	exp(反エルミート行列)=ユニタリ行列

整理

定義
- $σ_{i}$ はパウリ行列
- $J_{i}$ は生成子

	反対称行列=SO(2)	複素数	SO(3)	エルミート表示=SU(2)	クォータニオン表示
ベクトルの表示	$Z = [a, b]_{M} = a 1 + b I$	$z = [a, b] = a + bi$		$ξ = σ_{i} x^{i}$	$q = [0, σ_{i} x^{i}]$ 。重要なのは、これが回転行列の表記が同じこと
回転の表示				$U = [α - β^{} β α^{}] = 1 u_{0} + i σ^{i} u_{i}, Σ u_{i}^{2} = 1$	$U = [α - β^{} β α^{}] = 1 u_{0} + i σ^{i} u_{i}, Σ u_{i}^{2} = 1$
特殊直交	特殊直交行列		特殊直交行列	特殊ユニタリ行列	特殊ユニタリ行列
逆	$Z^{- 1} = \frac{z ^{t}}{n or m ( Z ) ^{2}}$	$z^{- 1} = \frac{z ^{*}}{n or m ( z ) ^{2}}$			$q^{- 1} = \frac{q ^{*}}{n or m ( q ) ^{2}}$
共役相当	転置	共役		エルミート共役	共役クォータニオン
内積	$< A, B >= \frac{1}{2} t r (A^{t} B)$			$< A, B >= \frac{1}{2} t r (A^{†} B)$	$< q_{(1)}, q_{(2)} >= \frac{1}{2} t r (q_{(1)}^{*} q_{(2)})$
ノルムの二乗	$< Z, Z >$	$z^{*} z$		$< Z, Z >$	$< q, q >$
回転	$T (θ) = exp [0, θ]_{M} = [cos (θ), sin (θ)]_{M}$	$T (θ) = exp [0, θ] = [cos (θ), sin (θ)]$	$T_{i} (θ) = e x p (J_{i} θ)$	$U_{i} (θ) = exp [0, σ_{3} θ_{3} /2], ξ^{'} = U_{3} ξ U_{3}^{†}$	$V_{i} (θ) = exp [0, σ_{3} θ_{3} /2], ξ^{'} = V_{3} ξ V_{3}^{†}$
一般回転			$T (Δ θ) = e x p (J_{i} Δ θ_{i}) = 1 + J_{i} Δ θ_{i}$	オイラー角回転 $U_{i} (θ) = exp [0, σ θ /2], ξ^{'} = U ξ U^{†}$	i軸回り回転 $V_{i} (θ) = exp [0, σ θ /2], ξ^{'} = V ξ V^{†}$ , 正規ベクトルr周り $V_{i} (θ, r) = [cos (θ /2), σ_{i} r^{i} sin (θ /2)], ξ^{'} = V ξ V^{†}$
備考					クオータニオンX, Yに対して $X Y = - [< x, y >, σ_{i} (x \times y)]$ 、 $ξ^{'} = V ξ V^{†}$ は座標系回転なので、ベクトル回転したい場合は左手ルール（必ず右からVをかける）を用いて $ξ^{'} = V^{†} ξ V$ 、球面線形補完可能

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