数学

🔗概要

• 二次関数の表現とその座標変換
• 楕円体（慣性テンソルを含む）を座標変換で飛ばす方法

🔗参考

• http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear11.html

🔗二次形式基礎

• 二次形式は実対称行列Aに対して、$f(x)=x^t A x$
• 実対称行列は常に直交行列Pで$A=P^{-1} A' P$と対角化可能
• $x=Px'$に対して、$f(x)=x^t A x = x'^t A' x'$
• $^1x^t A ^1x = 1$の座標系0での表現は、$^1x=^1_0R ^0x$なので、(^1_0R x)^t A (^1_0R x) = ^0x^t ^0_1R A ^0_1R^t ^0x = 1
  • つまり、世界座標系から物体座標系の回転行列が$^O_A R$だとすると、物体座標系での対角慣性テンソル$^A I$に対して、世界座標系での慣性テンソル$^O I$は$^O I= ^O_AR ^A I ^O_AR^t$と相似変換される、ということ。