制御

🔗概要

• 周波数応答に着目した制御理論
• 多変数が扱えないのでロボットの実運用にはほとんど役に立たない！！！
  • 入出力が一変数で周波数応答と安定余裕解析を知りたい時にしか使えないので、僕は使ったことがない
• 古典制御では、信号の初期値が全て0であると仮定してシステムを取り扱うことがほとんど
  • 実際に初期値0の場合がほとんど＆初期値の項はG(初期値0とした項+初期値による項)となり、結局Gの安定性により考えなくてよくなりがちなので https://controlabo.com/transfer-function/
  • シンプルな $Y=U\frac{1}{s^2+s}$ という形で議論している時点で、s 空間での式が $y(0),y^{\prime }(0)$ に依存していないのだから、数学的に $y(0)=0$ かつ $y^{\prime }(0)=0$ であることが前提となっています。

🔗参考

• octaveスクリプト (リンク切れ)
• 制御工学演習
• https://controlabo.com/
  • 不要な数学を排除しているのでとてもわかりやすい

🔗理論の限界と結論

• ブロック線図の定義（これを理解していないとマジで制御論周りが何もわからなくなるので必ず理解すること）

  • 線は時系列を表すラプラス変換された周波数領域での変数を表している。
  • ブロックは後段の線=前段の線*ブロックであることを表している。
  • o のような節は、加減算を表している。下の例では $e=r-\hat{y}$

• 限界（超重要）

  • 古典制御論は、以下の形式のブロック線図しか取り扱うことができない（図は~~ここ~~ (リンク切れ)より引用）

• 結論

  • 閉ループ伝達関数に不安定極がなく、不安定極相殺がなければ、内部安定
  • 一巡伝達関数のナイキスト線図が (-1, 0) を囲わないならば内部安定
    • ただし、上記はナイキスト線図が二周以上しない場合に限るが（通常しない）、二周以上する場合の判定方法もある
    • 閉ループ伝達関数は求めるのが面倒なので、一巡伝達関数だけで判定できるのが偉い
  • 伝達関数に$s=i\omega$を突っ込むと周波数応答がわかる（三角関数を入力した時、何倍振幅が増大して出力されるかがわかる）
  • インパクト応答は全 sin 関数の重ね合わせなので、インパクト応答をフーリエ変換すると、ボード線図のゲインも位相も描ける。機械システムの周波数特性（振動特性）を確認するインパルス加振実験が代表的です。ハンマーで対象をぶっ叩いて、インパルス応答を分析すると、システム同定ができる。
  • その他、どれくらい安定性に余裕があるかとかとか、不安定零点があるとアンダーシュートが必ず起きるとかが理論的にわかるとか、そういうことが理論的に議論される。

🔗s空間での設計をz空間に変換してプログラムに実装

• 具体例として、以下の条件で進めます。
  • 設計した制御器（PI制御と仮定）：$C(s)=K_p+\frac{K_I}{s}=2+\frac{10}{s}$（比例ゲイン $K_p=2$、積分ゲイン $K_I=10$）
  • 制御周期（サンプリング周期）：$T_s=0.01[s](10\text{ms})$

🔗ステップ1：離散化（タスティン変換）

• s領域の伝達関数をz領域に変換します。最も一般的で精度と安定性のバランスが良い**タスティン変換（双一次変換）**を用います。
  • タスティン変換は積分を台形近似している。周波数特性を守りたいなら $\to$ タスティン変換、時間応答の波形を守りたいなら $\to$ ステップ不変法 (ZOH)
  • $\frac{dy}{dt}=u(t)\text{（つまり }y(t)=\int u(t)dt\text{）}$
  • $y[k]=y[k-1]+\frac{T_s}{2}(u[k]+u[k-1])$
  • $Y(z)=z^{-1}Y(z)+\frac{T_s}{2}(U(z)+z^{-1}U(z))$
  • $\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{T_s}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$