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🔗概要

• 群論ちゃんと勉強しましょう

🔗目次

• 用語
• 疑問
• 置換
• 同値
• 巡回群$R_n$
• 整数と群
• 群の働き
• 軌道
• 中心
• 位数の低い群
• 共役類
• 共役な部分群と正規部分群
• 準同型
• 具体的な応用
• 興味

🔗用語

• 位数
  • 有限群の元の個数

🔗疑問

• $g^{-1} g' \in G \Leftrightarrow g' \in g_i G$
  • p95。なんで。

🔗置換

• $\begin{pmatrix} a & b & c \\ a & c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \end{pmatrix}$

  • 右上から、左に向かって参照していく

• 置換は非可換

• n次対称群＝置換群＝$\{a_1, ..., a_n\}$ の置換全体が作る群=$S_n$

  • n次対称群の位数はn!

• 正6面体群=$P(6) \cong S_4$

  • 4本対角線を元として見ると、その回転により群をなす
  • 群$G$と群$G'$が同型 $\Leftrightarrow \exists \phi \in Map(G, G')\ \phi(a b) = \phi(a) \phi(b)$

• 互換

  • 2要素を交換する置換
  • $\forall \sigma \in S_n\$ $\sigma$は互換の積で表される $\Leftrightarrow$ $S_n$は互換によって生成される

• 偶置換・奇置換、偶置換がなす群$A_n$

  • 置換を互換に分解した時、必要な互換数の偶奇で、偶置換と奇置換が分類される
  • 偶置換のみを取り出すと、群$A_n$になる（奇置換ではならない。なぜなら奇置換x奇置換=偶置換だから）
  • 偶置換x奇置換=奇置換、といったように、mod 2っぽくなる

🔗同値

• 群Gと、Gの部分群Hが与えられているとする。
  • Hは、いい加減に取るのではなく、これ自体で群であることに注意。
• $a \sim b \Leftrightarrow \exists h \in H\ b = a h$
  • 例: $G$は整数群、$H_0$は3で割って0になるような整数群。すると$6 \sim 3$。同様に$H_1, H_2$も定義可能
• 同値類$aH$（注意：これは集合である）
  • $aH = {ah | h \in H}$
  • 同値類には左右がある。元aが左に付いているものは、左同値類、右についているものは右同値類。
  • $\forall s, t \in aH\ s \sim t$
• 同値類による類別
  • Gは、Hの元に$a_1=1$を作用させたもの、Hの元に$a_2$を作用させたもの、Hの元に$a_3$を作用させたもの…で類別できる。
  • $G = \displaystyle \bigcup_a aH$
  • 何故か、$G = H + a_2 H + ...$と表記するらしい
  • 重要: $|H| = |a_i H|$。理由は、$H$の元と$a_i H$の元は、一対一対応するから。
  • 従って、ラグランジュの定理として、|H|は|G|の約数であることがわかる。

🔗巡回群$R_n$

• $R_n$: 1->2->...->n->1->2->... みたいな群。これを巡回群という。
• 巡回群は可換群。
• 巡回部分群
  • 有限群なら有限なので、単位元$e$以外のものをかけ続ければいつかはループするというアイディアを数式化したもの。
  • 一般の群$G$に対して、$H={a, a^2, a^3, ...}$が巡回群Hであるとする
    • 「一般の」というのは重要。いつかはループする。
    • Hは「aから生成されたGの巡回部分群」といい、Hの位数を「aの位数」という
    • 位数という単語が、今confusingになりました！！つらい
  • 定理: $a \in G$の位数は、$|G|$の約数。
    • 例: $S_3$を考える。$S_3$の元の位数は、サイクルになりえる元の数なので、全パターンとりえて、1か2か3。ところで$|S_3| = 1*2*3$なのでそうですね。
  • 定理: $a^{|G|} = e$（上の定理から即導かれる）
    • これすごい。群の位数の特徴付けとも言えるレベル。
    • 任意の群Gで、任意の群Gの元を取ってきても、位数乗すると単位元に戻る！
  • 定理: 群$G$の位数が素数$p$であるとすると、$G$は巡回群かつ単位元以外の元は全て位相$p$
    • 位数$4$における反例: 位数$4$の群$G$には、単位元以外の全ての元の位数が$2$になる、「クラインの4元群」がある

🔗整数と群

• 整数$n$に関する余剰類$[i]$

  • 定義: $[i] = {..., i-n, i, i+n, ...}$

• 定理: aとbが互いに素$\Leftrightarrow$ $\exists x, y \in \mathbb{Z}\ a x + b y = 1$

• 「$n$と素な余剰類$[a]$」=「$n$の既約余剰類」

  • 要するに$a$と$n$が互いに素
  • $n$が素数なら楽だが、そうでないと余剰類の数は限定される（$n=6$だと、$[1], [5]$しか既約余剰類でない）

• 定理: $n$の既約余剰類全体$\mathbb{Z_n^*}$は、乗法によって可換群

• $\mathbb{Z_n^*}$の元の数

  • 定理: $|\mathbb{Z_p^*}|=p-1$, where $n=p$, $p$は素数
  • 定理: $\displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p^k(1-\frac{1}{p})$, where $n=p^k$, $p$は素数
  • 定理: $\displaystyle|\mathbb{Z_p^*}|=p_1^{k_1}...p_s^{k_s}(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_s}) = \phi(n)$（オイラーの関数）

• 定理: $a \in \mathbb{Z_n^*}\ a^{\phi(n)} \equiv 1$

  • 群Gの任意の元aは、位数乗で単位元に戻ってくるのでそれはそう。
  • フェルマーの小定理: $n=p$, $p$は素数の時、$\phi(n)=n-1$であることからフェルマーの小定理が確認できる

🔗群の働き

• 定義: 群$G$が集合$M$の上に働く $\Leftrightarrow$ $\forall g \in G\ g \in Map(M, M)$ $\land$ $\forall x \in M\ g_1(g_2(x)) = (g_1 g_2)(x)$ $\land$ $\forall x \in M\ g \in G g(x) = x$

  • 要するに、Gの元は全部、M->Mへの関数です。関数が群っぽくあって欲しいです。ということは、関数合成が結合的で、Gの単位元は恒等写像であって欲しいです。ということ
  • 実は$g \in G$は、1対1写像！（重要）

• 逆に、群$G$を集合$M$の上に働かせるのに、定めるべきことは？

  • 「全ての$g \in G$について、$\phi_g(h), where h \in M$を定義」すれば、群$G$が集合$M$の上に働くと言えるね

• 自分の上に働く

  • 群GはGの上に右、左、両側から働く
  • $\phi_g(h) = gh, \psi_g(h) = h g^{-1}, \lambda_g(h)=g h g^{-1}$

• 自分の上に働く、ということは、置換そのものである（有限群限定）

  • 位数nの有限群の元${h_i} \in G$に、$g \in G$を左から働かせると、${g h_i}$となり、これは全て相異なのでこれは群$G$に一致
  • どんな$g \in G$を働かせるかによって、どんな置換になるかが変わる。
  • これを数式で表すと、Gが自分の上に働いている時、$\Phi \in Map(G, S_n)$が定義できる、ということになる。…★
  • 更に、$\Phi$は結合的である。
    • $g$を左から働かせたあとに、$g'$を左から働かせると、$\Phi(g' g) = \Phi(g') \Phi(g)$であることが分かる。

• 両側からの働きは、可換性に関わりが強い。

  • $\lambda_g(h) = ghg^{-1}$について、$\lambda_g(a) = a$となる元aの集合は可換な部分群となる。

• 準同型写像

  • 「抽象的な群を、具体的な群の一部に映し出す」写像
  • 準同型写像は、一般には一対一ではない
  • 写像$\Phi \in Map(G, G')$が$\Phi(\tilde{g} g) = \Phi(\tilde{g}) \Phi(g) \in G' (g, \tilde{g} \in G)$を満たすとき、$\Phi$は準同型写像
  • $\Phi(e) = e', \Phi(g^{-1}) = \Phi(g)^{-1}$
  • 上の、★の例であれば、「位数nの有限群Gから、n次対称群$S_n$への準同型写像$\Phi$が存在する。$\Phi$は、Gの左からの働きによって引き起こされる」と言える。

• 表現

  • Gは抽象的な概念であったが、$S_n$という具体的な群に橋渡しされた。
  • このことを表すために「Gから$S_n$への表現$\Phi$が与えられた」という。
  • $\Phi$が一対一写像であるときは、「忠実な表現」であるという。

🔗軌道

• G-軌道

  • 群Gが集合M上に働いている。
  • $x \in M$のG-軌道を、$G(x) = {g(x) | g \in G}$と定義する
  • 意味: gは、xに対して行いうる全ての変換。つまり、$G$が表す変換によって、移ることのできる元の集合ということ。
  • 当然、$y \notin G(x) \Leftarrow G(x) \cap G(y) = \phi$
  • $\displaystyle M=\bigcup_\alpha G(x_\alpha)$と、互いに共通点のないG-軌道で分解できる

• 固定部分群$G_{x_0}$

  • Gを作用させても、変化しないMの元がある（少なくともGの単位元はそう）
  • そのような場合、$g \in G$は$x_0 \in M$を止める、と言う
  • $x_0$を止める$g \in G$全体は、Gの部分群をなす。これを$x_0$の固定部分群と呼ぶ。

• 固定部分群、余剰類、G-軌道の関係

  • $x_0$のG-軌道と、Gの$G_{x_0}$による左余剰類による集合とが1対1対応する
  • 固定部分群$G_{x_0}={x_0, ..., x_{s-1}}$について、$x_i = g_i(x_0) = g_i'(x_0)$なる2つのGの元を選ぶ
  • $g_i^{-1} g_i' = x_0 \in G_{x_0}$なので、$g_i' \in g_i G_{x_0}$。$g_i$と$g_i'$は$G_{x_0}$の同じ左余剰類に属している！
  • 余剰類が得られたので、Gを分解することが出来る。$G=G_{x_0} + g_1 G_{x_0} + ... + g_{s-1} G_{x_0}$
  • ここで、$g \in G_i \Leftrightarrow g(x_0) = x_i$となり、$x_0$のG-軌道と、Gの$G_{x_0}$による左余剰類による集合とが1対1対応する（？？？）
  • これは有限群ではなく、一般の群で成り立つ
  • 特に有限群の場合は、余剰群の定理から$|G|=|G_{x_0}| |G(x_0)|$
    • コーシーの定理: 有限群$G$, $p$は素数、$p$は$|G|$の約数。この時、$g \in G$で位数がpのものが存在する。
    • この証明は、軌道をうまく使っていて面白い

🔗中心

• $G$の中心$Z$: $G$の全ての元と可換になるような元全体で構成されるGの部分群

  • $Z = {g | \forall h \in G\ gh = hg}$

• $|G|=p^m (p: prime)$ならば、$Z$は$e$以外を含む

• $x \in Z \Leftrightarrow$ 群G自身の両側からの働き$\lambda_g$による$x$のG-軌道が$x$のみ

  • 群G自身の両側からの働き$\lambda_g$による$x$のG-軌道が$x$のみ $\Leftrightarrow \forall g \in G\ \lambda_g(x) = x \Leftrightarrow \forall g \in G\ gxg^{-1} = x \Leftrightarrow \forall g \in G\ gx= xg \Leftrightarrow x \in Z$

• 群$G$の位数が、素数$p$で割り切れるとし、$p$の最大冪を$p^m$とする。この時、Gには位数$p^m$の部分群が存在する。

  • 位数$108=2^3 3^3$なら、4と27の部分群が存在する。
  • このような群はシロー群と呼ばれる。$|G| = p^m l (p: prime, p, l : coprime)$の時、位数$p^m$のGの部分群をGのp-シロー群と呼ぶ
    • p-シロー群は1つとは限らず、1つ以上あるならば、その個数は$1+kp$である。
    • また、p-シロー群は互いに共役である。

🔗位数の低い群

• 群の直積: 群G, Hに、$G \times H = {(g, h) | g \in G, h \in H}$に対して、演算$(g, h) \cdot (g', g') = (g g' , h h')$
  • 位数は$|G\times H| = |G| |H|$
• 巡回群$Z_m, Z_n$について、$Z_n \times Z_m$は$n, m: coprime$の時に巡回群$Z_{nm}$
• なんか一般性がなさそうなのでここは飛ばす

🔗共役類

• 自分自身の上への両側からの働き$\lambda_g(h) = ghg^{-1}$のG-軌道を考える。

• $a \in G$のG-軌道を、共役類$C(a)$と呼び、共役類の元を$a$に共役な元と呼ぶ。

  • $b \in C(a) \Leftrightarrow \exists g \in G\ b = g a g^{-1}$

• 両側からの働きの性質から、$C(a) = {a} \Leftrightarrow a \in Z$

• 中心化群: 元$\tilde{a}$と可換な元全体

  • $C_{\tilde{a}} = {g | g \tilde{a} = \tilde{a} g}$

• |G|=|C_\tilde{a}| |C(\tilde{a})|

• $S_7$の共役類

  • 対称群は、巡回置換の積で表される。この積は可換である。
  • 実は、$S_7$の共役類は、巡回群の積で表記した時に、単に名前を$k \rightarrow i_k$と変えるだけで表される
  • $\sigma = (1 3)(2 4)(5 6 7)$, $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ i_1 & i_2 & i_3 & i_4 & i_5 & i_6 & i_7\end{pmatrix}$, $\tau \sigma \tau^{-1} = (i_1 i_3)(i_2 i_4)(i_5 i_6 i_7)$

🔗共役な部分群と正規部分群

• Gの部分群全体の作る集合を$\mathfrak{M}$とする（冪集合みたいなやつ）
• $G$は$\mathfrak{M}$にも働く！$g: H \Rightarrow g H g^{-1}$で、$g$は$Map(G, \mathfrak{M})$の元である。

🔗準同型

• 群の準同型の例を３つ示せ。また、それらの像および核を求めよ

🔗具体的な応用

• http://www.prefield.com/algorithm/dp/money_change.html 「準同型ほにゃららによって達成できる」かっこ良すぎる

• H が G の正規部分群であることを、H ◁ G と書く． aHとかHaとかって、要するにHの要素全部にaをかけただけの集合 H/Xとかは？集合Hxが同じになることがあるので、[x]で代表している。並進対称の格子だと、単位格子の中のものにΓをかけるだけで、Γxを代表できている！

🔗興味

• 保型形式、面白そう。 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/fundamental-domain-game