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🔗概要

• 群論ちゃんと勉強しましょう

🔗目次

• 用語
• 疑問
• 置換
• 同値
• 巡回群$R_n$
• 整数と群
• 群の働き
• 軌道
• 中心
• 位数の低い群
• 共役類
• 共役な部分群と正規部分群
• 準同型
• 具体的な応用
• 興味

🔗用語

• 位数
  • 有限群の元の個数

🔗疑問

• $g^{-1}{g}^{\prime }\in G\iff g^{\prime }\in g_{i}G$
  • p95。なんで。

🔗置換

• $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a& c& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& a& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\end{array}\right)$

  • 右上から、左に向かって参照していく

• 置換は非可換

• n次対称群＝置換群＝$\{a_1,...,a_n\}$ の置換全体が作る群=$S_n$

  • n次対称群の位数はn!

• 正6面体群=$P(6)\cong S_4$

  • 4本対角線を元として見ると、その回転により群をなす
  • 群$G$と群$G^{\prime }$が同型 $\iff \exists \varphi \in Map(G,G^{\prime })\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$

• 互換

  • 2要素を交換する置換
  • $\forall \sigma \in S_n$ $\sigma$は互換の積で表される $\iff$ $S_n$は互換によって生成される

• 偶置換・奇置換、偶置換がなす群$A_n$

  • 置換を互換に分解した時、必要な互換数の偶奇で、偶置換と奇置換が分類される
  • 偶置換のみを取り出すと、群$A_n$になる（奇置換ではならない。なぜなら奇置換x奇置換=偶置換だから）
  • 偶置換x奇置換=奇置換、といったように、mod 2っぽくなる

🔗同値

• 群Gと、Gの部分群Hが与えられているとする。
  • Hは、いい加減に取るのではなく、これ自体で群であることに注意。
• $a\sim b\iff \exists h\in Hb=ah$
  • 例: $G$は整数群、$H_0$は3で割って0になるような整数群。すると$6\sim 3$。同様に$H_1,H_2$も定義可能
• 同値類$aH$（注意：これは集合である）
  • $aH=ah|h\in H$
  • 同値類には左右がある。元aが左に付いているものは、左同値類、右についているものは右同値類。
  • $\forall s,t\in aHs\sim t$
• 同値類による類別
  • Gは、Hの元に$a_1=1$を作用させたもの、Hの元に$a_2$を作用させたもの、Hの元に$a_3$を作用させたもの…で類別できる。
  • $G=\bigcup _{a}aH$
  • 何故か、$G=H+a_{2}H+...$と表記するらしい
  • 重要: $|H|=|a_{i}H|$。理由は、$H$の元と$a_{i}H$の元は、一対一対応するから。
  • 従って、ラグランジュの定理として、|H|は|G|の約数であることがわかる。